n-te Potenz einer Matrix A berechnen?

28.06.2018, 15:12	stelljano	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Potenz einer Matrix A berechnen? Hallo Leute, wie berechnet man die n-te Potenz einer Matrix? Beispiel: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe mal die A^2 und A^3 berechnen: $\begin{eqnarray} A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{3} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mir fällt es jetzt allerdings schwer eine Formel dafür aufzustellen. Kann mir da jemand behilflich sein? Edit: Zuvor sollte ich die Eigenwerte, Eigenvektoren und die Diagonalmatrix aufstellen. Beste Grüße
28.06.2018, 15:39	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, durch deine Vorarbeit kannst du $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ darstellen als $\begin{eqnarray} A = SDS^{-1} \end{eqnarray}$ für eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Berechne mal abstrakt, also ohne die konkreten Matrizen einzusetzen $\begin{eqnarray} (SDS^{-1})^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (SDS^{-1})^3 \end{eqnarray}$ .

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