Termumformung

28.06.2018, 22:55	Doofkopp	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe nach meiner Schulzeit, die mittlerweile über 15 Jahre zurückliegt, angefangen mich wieder mit Mathematik zu beschäftigen und bin entsprechend eingerostet. Zur Zeit versuche ich folgende Produktformel durch vollständige Induktion zu beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^{n} \left(1-\frac{2}{k\left(k+1\right) }\right) = \frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n} \right) \end{eqnarray}$ (Das Sigma müsste natürlich groß Pi sein, aber das gabs im Formeleditor leider nicht.) Meine Ideen: gekommen bin ich jedenfalls bis $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\left(1+\frac{4+n}{n^{2}+3n+2 } \right) \end{eqnarray}$ . Beim Schritt nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n} \right) \end{eqnarray}$ hänge ich aber an der Termumformung und habe keine Ahnung wie ich weiter machen soll und wäre deshalb dankbar für eure Hilfe. Gruß Stefan
28.06.2018, 23:49	Doofkopp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung Es muss natürlich der Schrit nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n+1} \right) \end{eqnarray}$ sein.
29.06.2018, 08:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sollten wir zunächst mal die Behauptung richtig stellen: Es geht wohl doch eher um $\begin{eqnarray} {\color{red}\prod_{k=2}^{n}} \left(1-\frac{2}{k(k+1)}\right) = \frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n} \right) \end{eqnarray}$ . Basierend auf der Faktorisierung $\begin{eqnarray} 1-\frac{2}{k(k+1)} = \frac{k^2+k-2}{k(k+1)} = \frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ kann man im Induktionsschritt schön kürzen.
29.06.2018, 08:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde hier über Kreuz kürzen. Nur die roten Faktoren bleiben übrig: $\begin{align} \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{2}{k(k+1)} \right) = \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)} = \frac{\color{red} 1 \cdot 4}{2 \color{red} \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \color{red} \cdot 4} \cdot \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-1) \color{red} \cdot (n+2)}{\color{red} n \color{black} \cdot (n+1)} \end{align}$ Aber es geht natürlich auch mit Induktion. HAL hat dir die nötigen Hinweise gegeben.
29.06.2018, 17:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch übersichtlicher wird das Kürzungsschema, wenn man die beiden Faktoren im Nenner vertauscht: $\begin{eqnarray} \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{2}{k(k+1)} \right) = \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+2)}{(k+1)k} = \frac{{\color{red} 1} \cdot 4}{{\color{red}3}\cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{4\cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 4} \cdot \ldots \cdot \frac{(n-1) \cdot {\color{red}(n+2)}}{(n+1)\cdot {\color{red} n}} = \frac{{\color{red} 1}}{{\color{red}3}} \cdot \frac{4\cdot 2}{2\cdot 4} \cdot \frac{5\cdot 3}{3\cdot 5} \cdot \ldots \cdot \frac{(n+1)\cdot (n-1)}{(n-1)\cdot (n+1)}\cdot \cdot \frac{{\color{red}(n+2)}}{{\color{red} n}} \end{eqnarray}$

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