ML-Schätzer und quadratischer Schätzfehler

29.06.2018, 14:24

Trafalgar

ML-Schätzer und quadratischer Schätzfehler

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige und identisch verteilte ZV, Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

a)Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer $\begin{eqnarray*} T_{ML} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \tau(\lambda)=\lambda \end{eqnarray*}$ .
b)Zeige, dass $\begin{eqnarray*} T_{ML} \end{eqnarray*}$ erwartungstreu und konsistent ist.
c)Bestimme den mittleren quadratischen Schätzfehler $\begin{eqnarray*} R_{\lambda}(T) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei a) komme ich auf $\begin{eqnarray*} T_{ML}=\frac{1}{n}*\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \end{eqnarray*}$ .
Ich bräuchte Hilfe bei der b) und c).

Danke im Voraus.

29.06.2018, 15:03

HAL 9000

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Bei b) ist doch nur $\begin{eqnarray*} E\left(T_{ML}\right)=\lambda \end{eqnarray*}$ zu prüfen, was aus den Eigenschaften der Poissonverteilung doch rasch hervorgeht.

Unter $\begin{eqnarray*} R_\lambda(T) \end{eqnarray*}$ verstehst du doch vermutlich $\begin{eqnarray*} R_\lambda(T_{ML}) := E\left( (T_{ML}-\lambda)^2 \right) \end{eqnarray*}$ ?

Dann ist laut Verschiebesatz $\begin{eqnarray*} R_\lambda(T_{ML}) = V(T_{ML}) + \left(E(T_{ML})-\lambda\right)^2 \end{eqnarray*}$ , und aus b) folgt demnach $\begin{eqnarray*} R_\lambda(T_{ML}) = V(T_{ML}) \end{eqnarray*}$ . Auch dieser Wert folgt leicht aus der Varianz der zugrunde liegenden Poissonverteilung.

30.06.2018, 09:19

Trafalgar1

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Also $\begin{eqnarray*} R_{\lambda}(T_{ML})=\lambda \end{eqnarray*}$ .
Und wie zeige ich nun die Konsistenz?

30.06.2018, 11:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trafalgar1
Also $\begin{eqnarray*} R_{\lambda}(T_{ML})=\lambda \end{eqnarray*}$ .

Nein, richtig ist $\begin{eqnarray*} R_{\lambda}(T_{ML}) = n\cdot \frac{1}{n^2}V(X_1) = \frac{\lambda}{n} \end{eqnarray*}$ .

30.06.2018, 12:23

Trafalgar2

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Danke schonmal. Wie kann man denn zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T_{ML}=\frac{1}{n}*\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \end{eqnarray*}$ der beste erwartungstreue Schätzer ist für $\begin{eqnarray*} \tau(\lambda)=\lambda \end{eqnarray*}$ unter der Bernoullie-Verteilung?

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