Wieso hat eine orthogonale Matrix in einem 3 dimensionalen euklidischen Vektorraum den Eigenwert 1?

29.06.2018, 15:11

Eco27

Wieso hat eine orthogonale Matrix in einem 3 dimensionalen euklidischen Vektorraum den Eigenwert 1?

Meine Frage:
Das Lehrbuch mit dem ich arbeite enthält die im Bild aufgeführte Argumentation. Im Grunde ist diese wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 *\lambda_2*\lambda_3=1 \\ \lambda_i \in \mathbb C => \lambda_j=\bar{\lambda_i} \ \ i,j \in \left\{ 1,2,3\right\} i \neq j \end{eqnarray*}$

Wieso kann jedoch nicht folgendes gelten?:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 *\lambda_2*\lambda_3=1 \\ \lambda_i \in \mathbb C => \lambda_j*\lambda_k=\bar{\lambda_i} \ \ i,j,k \in \left\{ 1,2,3\right\} i \neq j \neq 3 \\ \lambda_j,\lambda_k,\lambda_i \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Also dass alle Eigenwerte komplex sind.

Meine Ideen:
...

29.06.2018, 15:31

HAL 9000

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Mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist zwangsläufig auch $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , das folgt schlicht aus dem Reellsein der Matrix - nicht klar, warum das gilt?

29.06.2018, 15:52

Eco27

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Ne nicht so ganz. Also was klar ist, ist das die Determinante der Matrix reell ist. Daraus folgt, dass wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert ist, die anderen Eigenwerte miteinander multipliziert $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ ergeben müssen. Aber dafür muss ja nicht einer der Faktoren (also Eigenwerte) selbst $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ sein

edit:
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = e^{i \pi/4}, \ \lambda_2 = e^{i \pi}, \ \lambda_3 = e^{i \frac{27}{36}\pi} \end{eqnarray*}$

29.06.2018, 16:17

Eco27

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ok das war ein unglückliches Beispiel,da eine der vorkommenden Zahlen reell ist.
Hier ein anderes
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = e^{i \pi/2} \\ \lambda_2 = e^{i 3\pi/4} \\ \lambda_3 = e^{i 3\pi/4} \end{eqnarray*}$

29.06.2018, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist zwangsläufig auch $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , das folgt schlicht aus dem Reellsein der Matrix

Man kann über die charakteristische Funktion argumentieren - oder aber so:

Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein zugehöriger EV $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$ . Konjugiert komplex wird daraus $\begin{eqnarray*} \bar{A}\bar{x} = \bar{\lambda} \bar{x} \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ ist EW der Matrix $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ mit zugehörigem EV $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aber rein reell ist, gilt ja $\begin{eqnarray*} \bar{A}=A \end{eqnarray*}$ , somit ist damit bereits nachgewiesen, dass auch $\begin{eqnarray*} \bar{\lambda} \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist!!!

29.06.2018, 19:07

Eco27

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Alles klar. Macht Sinn. Danke dir smile

29.06.2018, 22:46

Leopold

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Wenn jemand sagt: "Macht Sinn!", habe ich meine Zweifel, ob er alles wirklich genau nachvollzogen und durchdacht hat oder ob er sich nicht bloß der Autorität eines andern beugt, weil das, was "herauskommt", das "Erwartete" ist, weil es zum Beispiel "schön aussieht". Und dann muß es ja auch richtig sein. Es "macht Sinn".

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