Parameterdarstellung Hyperbel und Tangente

01.07.2018, 13:00

Hugo_M28

Parameterdarstellung Hyperbel und Tangente

Hallo Leute,

ich bin wieder einmal auf ein Problem gestoßen.

Gegeben ist die Parameterdarstellung der Hyperbel

y= { $\begin{eqnarray*} x = 3\sqrt{t^{2} +1} \end{eqnarray*}$
{ $\begin{eqnarray*} y = t \end{eqnarray*}$

die Ableitung dx und dy sind kein Problem aber wie komme ich auf die Ableitung ds, welche hier
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9* (\frac{x^{2}}{(x^{2} + 1) } +1 } \end{eqnarray*}$ ergeben soll?

LG
Hugo

P.S.

dx = $\begin{eqnarray*} 3* \frac{t}{\sqrt{t^{2} +1} } \end{eqnarray*}$
xy = 1

01.07.2018, 13:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hugo_M28
aber wie komme ich auf die Ableitung ds, welche hier
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9* (\frac{x^{2}}{(x^{2} + 1) } +1 } \end{eqnarray*}$ ergeben soll?

Stimmt ja auch nicht:

Zum einen sollte da jeweils $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Formel stehen, und zum anderen ist das nicht $\begin{eqnarray*} \dd s \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac{\dd s}{\dd t} \end{eqnarray*}$ .

01.07.2018, 14:21

Hugo_M28

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ja stimmt, anstatt der x gehört t. Habe ich im Formeleditor vergessen es auszutauschen.

Hier die Korrekte Version:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9* (\frac{t^{2}}{(t^{2} + 1) } +1 } \end{eqnarray*}$

Ok und wie komme ich nun auf das $\begin{eqnarray*} \frac{ds} {dt} \end{eqnarray*}$ ?

LG
Hugo

01.07.2018, 14:24

HAL 9000

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Das ist nun mal gemäß Pythagoras das differentiale Wegelement $\begin{eqnarray*} \dd s = \sqrt{\left(\dd x\right)^2+\left(\dd y\right)^2} \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd s}{\dd t} = \sqrt{\left(\frac{\dd x}{\dd t}\right)^2+\left(\frac{\dd y}{\dd t}\right)^2} \end{eqnarray*}$ .

01.07.2018, 15:45

Hugo_M28

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Ahhh jetzt hab ich es verstanden Big Laugh

Vielen Dank @HAL 9000

01.07.2018, 16:08

Hugo_M28

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Noch eine Zusatzfrage. Die Hyperbel und alles ist wie vorher.

Tangentengleichung sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{3} * \frac{\sqrt{t^{2}+1 } }{t} * x - \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Nun gilt "den Parameterwert aller Punkte auf der Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , deren Tangenge durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verläuft" zu bestimmen.

Sprich
$\begin{eqnarray*} t \in \end{eqnarray*}$ :
und
$\begin{eqnarray*} x \in \end{eqnarray*}$ :
sind als Mengen Anzugenben.
Also Parameter t und die x- Werte dieser Punkte sind als Mengen anzugeben.

LG
Hugo

01.07.2018, 20:39

mYthos

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Es ist nicht ersichtlich, wie du die Tangentengleichung bestimmt hast, sie könnte aber stimmen..

Zitat:

Original von Hugo_M28
...
Tangentengleichung sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{3} * \frac{\sqrt{t^{2}+1 } }{t} * x - \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$
...

Da die Tangente durch den Punkt (0; 3) gehen soll, ist darin für x = 0 und für y = 3 einzusetzen, somit können $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und anschließend $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ berechnet werden!

Alternative Methode:

Für den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ der Tangente in einem laufenden Punkt (x; y) der Hyperbel sind die Ableitungen $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$ zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \vec v = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3t}{\sqrt{t^2+1}} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Tangente hat nun die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} 3 \sqrt{t^2+1} \\ t \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} \frac{3t}{\sqrt{t^2+1}} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und sie soll durch den Punkt (0; 3) gehen. Daher ist anstatt $\begin{eqnarray*} \vec X \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einzusetzen.
Nun entsteht bei zeilenweisem Gleichsetzen ein Gleichungssystem, welches nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (und dem Parameter s) aufzulösen ist.

[ $\begin{eqnarray*} t = -\frac 1 3; \ x = \ .. \end{eqnarray*}$ ]

mY+

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