DGL mit Potenzreihenansatz lösen

01.07.2018, 13:30	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit Potenzreihenansatz lösen Hallo und schönen, sonnigen Sonntag diesen verbringe ich unter anderem mit folgender Aufgabe: [attach]47601[/attach] Mein Ansatz dazu: (wie bekomme ich zwei Punkte über das x? Einer geht ja mit \dot... ) $\begin{eqnarray} x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n} ; x' = \sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot a_{n}t^{n-1} ; x'' = \sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} \end{eqnarray}$ Einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}t^{n-2} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot a_{n}t^{n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^{n} - \sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot a_{n}t^{n} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n\cdot a_{n} + a_{n}\right]t^{n} = 0 \Leftrightarrow (n+2)(n+1)a_{n+2} = (n-1)a_{n} \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} a_{n+2} = \frac{n-1}{(n+2)(n+1)}a_{n} \end{eqnarray}$ Ist das bisher korrekt? Ich erhalte nämlich dann: $\begin{eqnarray} a_{2n} = -\frac{2n-1}{(2n)!}\cdot a_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{2n+1}=0 \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »