Basis - Beweis

01.07.2018, 18:58

Snexx_Math

Basis - Beweis

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe stellt mich vor ein Problem , wo ich nicht weiter weiß :

Sei X eine Menge, K ein Körper, M(X,K) ist die Menge der Abbildungen von X nach K.
Für jedes $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ sei die Abbildung $\begin{eqnarray*} e_y \in M(X,K) \end{eqnarray*}$ def. durch: $\begin{eqnarray*} x \mapsto 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x \mapsto 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Bereits bewiesen habe ich, dass M(X,K) ein K Vektorraum ist .

Zu zeigen :
Sei $\begin{eqnarray*} X=\{ y_1, ... , y_n \} \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge. Dann bilden die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_{y1},...,e_{yn} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} M(X,K) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß jetzt nicht was ich machen soll unglücklich

Muss ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Spann(\{ e_{y1},...,e_{yn} \}) = M(X,K) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{y1},...,e_{yn} \end{eqnarray*}$ maximal lin. unabh. ?

LG

Snexx_Math

01.07.2018, 19:15

tatmas

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Hallo,

nein.
Es reicht zu zeigen, dass

Zitat:

ey1,...,eyn maximal lin. unabh.

oder dass

Zitat:

Spann({ey1,...,eyn})=M(X,K) und ey1,...,eyn lin. unabh. ?

02.07.2018, 18:25

Snexx_Math

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