Lineare Unabhängigkeit - Beweis

01.07.2018, 19:20

Snexx_Math

Lineare Unabhängigkeit - Beweis

Hallo zusammen,

ich bräuchte mal ein wenig Hilfe bei folgendem Beweis:

Sei K ein Körper , V ein K-Vektorraum. Seien $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ lin. unabh. Vektoren in V.

Seien $\begin{eqnarray*} \lambda _1,..., \lambda _n \in K \end{eqnarray*}$ beliebig. Wir definieren: $\begin{eqnarray*} x= \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda _i x_i \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie: Die Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1-x,...,x_n-x \end{eqnarray*}$ lin. unabh. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda _i \neq 1 \end{eqnarray*}$

Die Hinrichtung ist ziemlich trivial. Aber das Problem ist die Rückrichtung.

Ich mache bei der Rückrichtung einen Beweis durch Kontraposition habe ich mir gedacht, also:

$\begin{eqnarray*} x_1-x,...,x_n-x \end{eqnarray*}$ lin. abh. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda _i = 1 \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_i \neq 0 \ \ mit \ \ i \in \{1,...,n\}: x_i-x=- \frac{\lambda_1}{\lambda_i}(x_1-x)-...- \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_i}(x_{i-1}-x)- \frac{\lambda_{i+1}}{\lambda_i}(x_{i+1}-x)-...- \frac{\lambda_{n}}{\lambda_i}(x_{n}-x) \end{eqnarray*}$

Aber was nun ? unglücklich

Tipps und weiter Hilfestellungen wären sehr wilkommen smile

Habe schon viel von dem Schritt hier aus gerechnet aber das wird ein Durcheinander von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's und $\begin{eqnarray*} x_i 's \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

01.07.2018, 19:54

sixty-four

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RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Bilde doch einfach die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i(x_i-x)=\sum \limits_{i=1}^n\lambda_ix_i -\sum \limits_{i=1}^n\lambda_ix = x - x \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i= (1 - \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i) x \end{eqnarray*}$

Da die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss

$\begin{eqnarray*} (1 - \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i) \ne 0 \end{eqnarray*}$ sein.

01.07.2018, 20:27

Snexx_Math

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RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis

Zitat:

Original von sixty-four
Bilde doch einfach die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i(x_i-x)=\sum \limits_{i=1}^n\lambda_ix_i -\sum \limits_{i=1}^n\lambda_ix = x - x \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i= (1 - \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i) x \end{eqnarray*}$

Da die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss

$\begin{eqnarray*} (1 - \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i) \ne 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Danke erstmal smile

Aber wieso muss jetzt $\begin{eqnarray*} (1 - \sum \limits_{i=1}^n\lambda_i) \ne 0 \end{eqnarray*}$ sein ?

Du meintest ja weil die Vektoren linear abhängig sein sollen , aber iwie verstehe ich das gerade nicht , könntest du das nochmal kurz beschreiben warum ?

LG

Snexx_Math

01.07.2018, 21:14

sixty-four

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RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Die linke Seite kann nicht der Nullvektor sein. Außer, wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ sind. Dann stimmt aber die Behauptung auch. Wenn nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ sind, kann auch die rechte Seite nicht der Nullvektor sein. Daraus folgt die Behauptung.

02.07.2018, 09:03

HAL 9000

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@sixty-four

Deine Argumentation betrifft jetzt aber nach wie vor die Hinrichtung. Snexx_Math geht es aber doch um die Rückrichtung - oder bin ich hier auch blind und sehe nicht, worauf du hinauswillst? verwirrt

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} x_1-x,...,x_n-x \end{eqnarray*}$ lin. abh. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda _i = 1 \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_i \neq 0 \ \ mit \ \ i \in \{1,...,n\}: x_i-x=- \frac{\lambda_1}{\lambda_i}(x_1-x)-...- \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_i}(x_{i-1}-x)- \frac{\lambda_{i+1}}{\lambda_i}(x_{i+1}-x)-...- \frac{\lambda_{n}}{\lambda_i}(x_{n}-x) \end{eqnarray*}$

Irrtum, das heißt es nicht: Du kannst nicht von vornherein annehmen, dass die Faktoren dieselben $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ sind wie in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Definition. Richtig wäre daher ausgehend von der linken Seite der Start

$\begin{eqnarray*} \exists (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \neq (0,\ldots,0)\;\mbox{mit}\; \sum_{i=1}^n \alpha_i (x_i-x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt Definition $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt das Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (\alpha_i - \lambda_i\alpha) x_i = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha:= \sum_{j=1}^n \alpha_j \end{eqnarray*}$ .

Die lineare Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ nutzend folgt damit $\begin{eqnarray*} \alpha_i - \lambda_i\alpha=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , was in der Summe wiederum $\begin{eqnarray*} \alpha\left( 1-\sum_{i=1}^n\lambda_i \right)=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet. Den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ kann man ausschließen (warum?), für $\begin{eqnarray*} \alpha\neq 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\lambda_i=1 \end{eqnarray*}$ .

02.07.2018, 10:39

sixty-four

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Zitat:

Original von HAL 9000
@sixty-four

Deine Argumentation betrifft jetzt aber nach wie vor die Hinrichtung. Snexx_Math geht es aber doch um die Rückrichtung - oder bin ich hier auch blind und sehe nicht, worauf du hinauswillst? verwirrt

Da hast du recht. Da habe ich wohl nicht so genau hingesehen, weil es kurz vor Fußball war. Wenn ich das aber richtig sehe, hast du die Umkehrung geschafft.

02.07.2018, 16:31

Snexx_Math

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Vielen lieben Dank , jetzt hab ichs verstanden smile

Nur noch ein Nachtrag zur Frage warum $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ , da wollte ich erst antworten weil alle $\begin{eqnarray*} \alpha _i 's \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind amtworten , aber die summe könnte ja trotzdem 0 sein , warum ist sie das denn nicht ?

LG

02.07.2018, 17:00

HAL 9000

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Ja, warum ... so trivial ist das nämlich nicht, deswegen muss es schon auch kurz diskutiert werden:

Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \alpha_i (x_i-x) = 0 \end{eqnarray*}$ folgt im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i = 0 \end{eqnarray*}$ , was aber wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ nicht sein kann, Widerspruch. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Snexx_Math
weil alle $\begin{eqnarray*} \alpha _i 's \neq 0 \end{eqnarray*}$

Hier wiederholst du übrigens den Fehler, den du oben schon gemacht hast: Bei linearer Abhängigkeit müssen nicht alle $\begin{eqnarray*} \alpha_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein - es muss nur mindestens ein (!) $\begin{eqnarray*} \alpha_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein! Ein himmelweiter Unterschied. unglücklich

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