Lineare Unabhängigkeit - Beweis

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Hallo zusammen,

ich bräuchte mal ein wenig Hilfe bei folgendem Beweis:

Sei K ein Körper , V ein K-Vektorraum. Seien lin. unabh. Vektoren in V.

Seien beliebig. Wir definieren: .

Beweisen Sie: Die Vektoren lin. unabh.

Die Hinrichtung ist ziemlich trivial. Aber das Problem ist die Rückrichtung.

Ich mache bei der Rückrichtung einen Beweis durch Kontraposition habe ich mir gedacht, also:

lin. abh.

D.h.

Aber was nun ? unglücklich Tipps und weiter Hilfestellungen wären sehr wilkommen smile
Habe schon viel von dem Schritt hier aus gerechnet aber das wird ein Durcheinander von 's und

LG

Snexx_Math
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Bilde doch einfach die Linearkombination



Da die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss

sein.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Zitat:
Original von sixty-four
Bilde doch einfach die Linearkombination



Da die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss

sein.


Danke erstmal smile

Aber wieso muss jetzt sein ?

Du meintest ja weil die Vektoren linear abhängig sein sollen , aber iwie verstehe ich das gerade nicht , könntest du das nochmal kurz beschreiben warum ?

LG

Snexx_Math
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit - Beweis
Die linke Seite kann nicht der Nullvektor sein. Außer, wenn alle sind. Dann stimmt aber die Behauptung auch. Wenn nicht alle sind, kann auch die rechte Seite nicht der Nullvektor sein. Daraus folgt die Behauptung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@sixty-four

Deine Argumentation betrifft jetzt aber nach wie vor die Hinrichtung. Snexx_Math geht es aber doch um die Rückrichtung - oder bin ich hier auch blind und sehe nicht, worauf du hinauswillst? verwirrt

Zitat:
Original von Snexx_Math
lin. abh.

D.h.

Irrtum, das heißt es nicht: Du kannst nicht von vornherein annehmen, dass die Faktoren dieselben sind wie in der -Definition. Richtig wäre daher ausgehend von der linken Seite der Start

.

Eingesetzt Definition ergibt das Gleichung mit .

Die lineare Unabhängigkeit der nutzend folgt damit für alle , was in der Summe wiederum bedeutet. Den Fall kann man ausschließen (warum?), für ergibt sich die rechte Seite .
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
@sixty-four

Deine Argumentation betrifft jetzt aber nach wie vor die Hinrichtung. Snexx_Math geht es aber doch um die Rückrichtung - oder bin ich hier auch blind und sehe nicht, worauf du hinauswillst? verwirrt



Da hast du recht. Da habe ich wohl nicht so genau hingesehen, weil es kurz vor Fußball war. Wenn ich das aber richtig sehe, hast du die Umkehrung geschafft.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank , jetzt hab ichs verstanden smile

Nur noch ein Nachtrag zur Frage warum , da wollte ich erst antworten weil alle sind amtworten , aber die summe könnte ja trotzdem 0 sein , warum ist sie das denn nicht ?

LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, warum ... so trivial ist das nämlich nicht, deswegen muss es schon auch kurz diskutiert werden:

Aus folgt im Fall die Gleichung , was aber wegen der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit der nicht sein kann, Widerspruch. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Snexx_Math
weil alle

Hier wiederholst du übrigens den Fehler, den du oben schon gemacht hast: Bei linearer Abhängigkeit müssen nicht alle sein - es muss nur mindestens ein (!) sein! Ein himmelweiter Unterschied. unglücklich
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