Reelles Integral mit Residuensatz

01.07.2018, 21:58

forbin

Reelles Integral mit Residuensatz

Hallo Leute,

ich verzweifle gerade.
Es soll das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Meine Idee:
Setze $\begin{eqnarray*} f(z):=\frac{1}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)} \end{eqnarray*}$ .

Nun brauche ich einen Zyklus. Also gehe ich auf der reellen Geraden von -R bis R und von R einen Halbkreis in der oberen Halbebene bis -R.
Also:
$\begin{eqnarray*} \gamma_{1,R} = \left[-R,R\right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_{2,R} = R\cdot e^{i\cdot t}, 0\leq t\leq\pi \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} \Gamma = \gamma_{1,R} \circ\gamma_{2,R} \end{eqnarray*}$

Es ist: $\begin{eqnarray*} \Big|\int\limits_{\gamma_{2,R}}f(z)dz\Big| \leq \frac{R}{(R^{2}-1)(R^{2}-4)}\cdot\pi\rightarrow 0 (R\rightarrow\infty) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Gamma}f(z)dz = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx \end{eqnarray*}$ .

Die Residuen innerhalb des Zyklus' sind $\begin{eqnarray*} \frac{i}{6} \text{ und }\frac{i}{12} \end{eqnarray*}$

Nun:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\Gamma}f(z)dz = 2\pi i\cdot (\frac{i}{6}+\frac{i}{12}) = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht stimmt.

Wo ist mein Fehler? :'(

01.07.2018, 23:48

Leopold

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RE: Reelle Integral mit Residuensatz

Zitat:

Original von forbin
Die Residuen innerhalb des Zyklus' sind $\begin{eqnarray*} \color{red} \frac{i}{6} \color{black} \text{ und }\frac{i}{12} \end{eqnarray*}$

Vorzeichen ...

02.07.2018, 00:07

forbin

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Ich hab' darauf geschaut, dass das Residuum innerhalb des Zyklus liegt.
Dabei hätte ich darauf achten müssen, ob die Polstelle innerhalb liegt Hammer

Leopold, mal wieder habe ich was gelernt und du hast meinen Tag gerettet Gott

02.07.2018, 00:13

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
Leopold, mal wieder habe ich was gelernt und du hast meinen Tag gerettet Gott

Dann kannst du ja die nächsten 23 Stunden und 53 Minuten in vollen Zügen genießen.

02.07.2018, 00:40

forbin

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Ich wollte eigentlich sogar dazu schreiben, dass ich deine Antwort noch vor Tageswechsel gelesen hab Augenzwinkern

02.07.2018, 18:17

forbin

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Hallo nochmal,

ich hänge nun an $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty}\frac{x\cdot sin(x)}{x^{2}+a^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\infty}\frac{x\cdot sin(x)}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cdot sin(x)}{x^{2}+a^{2}} = \end{eqnarray*}$

Ich setze $\begin{eqnarray*} f(z) := \frac{z^{2}\cdot sin(z)}{z^{2}+a^{2}} \end{eqnarray*}$ und bilde wie in der ersten Aufgabe $\begin{eqnarray*} \Gamma = \gamma_{1,R}\circ\gamma_{2,R} \end{eqnarray*}$ .
Ich konnte das Integral über den Halbkreisbogen abschätzen und erhalte 0 für $\begin{eqnarray*} R\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .

Gut, nun berechne ich $\begin{eqnarray*} res_{z=ai}f(z) = \frac{1}{2}i\cdot sinh(a) \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich aber ein negatives (und auch so) falsches Ergebnis, wenn ich nun den Residuensatz anwende.
Mein Fehler liegt also vorher. Aber wo? verwirrt

02.07.2018, 20:11

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
Ich konnte das Integral über den Halbkreisbogen abschätzen und erhalte 0 für $\begin{eqnarray*} R\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .

Da wird vermutlich der Fehler liegen. Ich glaube nicht, daß dieses Integral konvergiert. Integriere stattdessen mit demselben Integrationsweg über

$\begin{align*} f(z) = \frac{z \operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z^2 + a^2} \end{align*}$

Dann konvergiert das Integral über den Halbkreisbogen gegen 0. Gehe im Ergebnis zum Real- und Imaginärteil über.

Und ... $\begin{align*} z \end{align*}$ oder $\begin{align*} z^2 \end{align*}$ im Zähler?

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