IP-fast sichere Konvergenz |
02.07.2018, 21:09 | Bub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
IP-fast sichere Konvergenz Hallo und guten Abend liebes Forum, bezüglich einer Hausaufgabe beschäftigt mich folgendes Problem. Es seien unabhängig, identisch verteilte ZV mit Verteilungsfunktion F(x). Ich will zeigen, dass gilt, wobei M_N das Maximum der ZV ist. Meine Ideen: Zunächst wollte ich zeigen. Das versuche ich mit Borel-Cantelli. Für die erste Gleichung zeige ich und für die zweite . bei der ersten stehe ich vor einem Problem. Ich komme bis und dann schaff ich es nicht die richtige Abschätzung zu finden. Ist der Ansatz überhaupt ok? |
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02.07.2018, 21:22 | Bub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ZV sind dabei Standardnormalverteilt. |
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03.07.2018, 09:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich das richtig sehe, dann divergiert die Reihe rechts in der untersten Zeile, zumindest für die kleinen , für die du eigentlich auf Konvergenz gehofft hast. Was du aber zeigen kannst ist , und das dürfte auch für den ersten Teil deines Beweises reichen. D.h., du solltest grundsätzlich nochmal über den Start nachdenken, wie also Ereignisse hinsichtlich in solche bzgl. zu übersetzen sind, denn für letztere ist dann hier Borel-Cantelli wirksam anwendbar, nicht für erstere. |
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03.07.2018, 11:36 | Bub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh nicht ganz was du mit "zu übersetzen meinst". Kann ich also einfach so sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum M_N einen Wert W nicht übersteigt ist größer oder gleich der Wahrscheinlichkeit, dass X_N diesem Wert W nicht übersteigt? Da M_N >= X_N für alle N. . Denke, dass das falsch ist. Kann ich vielleicht etwas mit der Sigma-additivität erreichen? |
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03.07.2018, 12:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach Borel-Cantelli bedeutet das, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft eintritt. In P-fast allen Fällen gibt es also ein mit für alle . Zudem findet man sicher ein mit . Beides miteinander kombiniert bedeutet für alle , und damit . ------------------------------------------------------------------------- Der zweite Teil ist sogar noch einfacher: Da zeigt man zunächst . Wegen der Unabhängigkeit der bedeutet das tatsächlich, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft eintritt, das bedeutet wegen direkt . |
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