Begriff der Integrierbarkeit |
| 04.07.2018, 18:18 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Begriff der Integrierbarkeit Ich würde mal gerne ein paar Fragen zum Thema Integrierbarkeit klären. Wenn eine Funktion f integrierbar ist, heißt das , dass man das Integral von F immer berechnen kann ? Oder heißt es , dass man immer eine Stammfunktion bilden kann ? Oder etwas anderes ? Also was folgt wenn f integrierbar ist ? Und wenn man das Integral berechnen kann ist , dann f immer integrierbar ? Besitzt f dann immer eine stammfunktion ? LG Snexx_Math |
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| 04.07.2018, 18:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt verschiedene Begriffe der Integrierbarkeit: Da wäre zunächst mal das Riemann-Integral, definiert über die Konvergenz sog. Riemannscher Unter- bzw. Obersummen. Als nächstes kommt das uneigentliche Riemann-Integral, worunter man Grenzwerte von Riemann-Integralen hinsichtlich eines Grenzübergangs von oberer oder unterer Grenze versteht. Was Integrierbarkeit jedenfalls NICHT meint ist die Existenz einer Stammfunktion, die als sogenannter geschlossener Ausdruck (d.h. ein endlicher Term mit üblichen Standardfunktionen) darstellbar ist. |
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| 04.07.2018, 18:55 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok gut, dann wäre die Frage der Stammfunktion geklärt, aber wie steht es um die anderen Fragen, wenn es um bestimmte (Riemann-) Integrale geht ? 
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| 04.07.2018, 18:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe NUR von bestimmten Integralen gesprochen. "Unbestimmtes Integral" ist lediglich ein Synonm für Stammfunktion. |
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| 04.07.2018, 19:01 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok , aber wenn jetzt eine Aufgabe lautet: Integrieren sie die Funktion f. Dann wird von mir verlangt, das Integral von f über (angegebene Integrationsgrenzen) zu berechnen oder ? |
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| 04.07.2018, 19:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte genauen Wortlaut - das ist er sicher nicht. |
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| 04.07.2018, 19:06 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok , warum ich frage ist nicht wegen einer Aufgabe, ich habe nur gemerkt, dass der Begriff der Integration mir nicht so klar ist , wie er sein sollte. Also sollte ich mir merken, dass Integration der Grenzübergang von Treppenfunktionen unterhalb und überhalb der Funktion f ist ? |
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| 04.07.2018, 19:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist, dass die Begriffe "bestimmtes Integral" und "unbestimmtes Integral" zwar sehr ähnlich klingen, aber vollkommen verschieden definiert sind. Der Zusammenhang zwischen beiden offenbart sich erst durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . Das scheint vielen nicht bewusst zu sein - der Unsicherheit deiner Fragen nach zu urteilen auch dir nicht so richtig, |
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| 04.07.2018, 19:46 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welcher Grenzwert gemeint ist, hängt vom Integralbegriff ab. Das was du beschreibst gilt für das Riemann-Integral. Der Lebesgue-Integralbegriff basiert auf den Maßen von Urbildmengen. (Maßtheorie). Das Lebesgue-Integral ist der modernere Integralbegriff. Damit lassen sich auch Funktionen integrieren, die nicht Riemann-integrierbar sind. |
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