Doppelintegrale

05.07.2018, 13:23

Snexx_Math

Doppelintegrale

Hallo zusammen ,

kurze Nachfrage wurden die beiden folgenden Doppelintegrale von mir richtig berechnet ?

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{y^2} , falls \ \ \ 0<x<y<1 \\ \ -\frac{1}{x^2} , falls \ \ \ 0<y<x<1\\0 , sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! f(x) \, dx dy = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! f(x) \, dy dx = -1 \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

05.07.2018, 16:25

sixty-four

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RE: Doppelintegrale
Warum sollten da unterschiedliche Ergebnisse herauskommen? Wenn ich mich nicht irre existieren die Integrale nicht.

Rechne doch mal vor, wie du es gerechnet hast.

EDIT: Du meinst als Integrand doch sicher f(x,y) ?

05.07.2018, 16:36

Snexx_Math

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RE: Doppelintegrale

Zitat:

Original von sixty-four
Warum sollten da unterschiedliche Ergebnisse herauskommen? Wenn ich mich nicht irre existieren die Integrale nicht.

Weil das ein Gegenbeispiel für einen Satz sein soll, der besagt, dass die Doppelintegrale gleich sind wenn f stetig ist, hier müsste , so sehe ich das, f unstetig in x=y sein. Wir sollen laut aufgabenstellung zeigen, dass diese Intergrale existieren und auch zeigen , dass sie nicht gleich sind.

Zitat:

Original von sixty-four
EDIT: Du meinst als Integrand doch sicher f(x,y) ?

Ja meine ich , ist verloren gegangen unglücklich

05.07.2018, 16:49

sixty-four

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RE: Doppelintegrale

Zitat:

Original von Snexx_Math
Weil das ein Gegenbeispiel für einen Satz sein soll, der besagt, dass die Doppelintegrale gleich sind wenn f stetig ist, hier müsste , so sehe ich das, f unstetig in x=y sein. Wir sollen laut aufgabenstellung zeigen, dass diese Intergrale existieren und auch zeigen , dass sie nicht gleich sind.

Dann zeig doch mal, was du gerechnet hast.

05.07.2018, 17:04

Snexx_Math

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RE: Doppelintegrale
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{1} \! f(x,y) \, dx dy = \int_{0}^{1} \! \Bigg ( \int_{0}^{y} \! \frac{1}{y^2} \, dx + \int_{y}^{1} \! -\frac{1}{x^2} \, dx \Bigg ) dy = \int_{0}^{1} \! \Bigg ( \frac{1}{y} + (1-\frac{1}{y}) \Bigg ) dy = \int_{0}^{1} \! 1 dy = 1 \end{eqnarray*}$

Das andere analog mit Endterm $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! -1 dx = -1 \end{eqnarray*}$

05.07.2018, 17:16

sixty-four

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RE: Doppelintegrale
Du hast recht. Ich hatte mich an einer Stelle vertan. Das sieht gut aus.

05.07.2018, 17:18

Snexx_Math

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RE: Doppelintegrale
Alles klar , danke fürs drüberschauen smile

05.07.2018, 17:23

HAL 9000

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Ein schönes Beispiel, wo die iterierten Integrale existieren, das Gesamtintegral aber offenkundig nicht. Den Voraussetzungen von Fubini bzw. Fubini-Tonelli ist also Beachtung zu schenken. Augenzwinkern

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