Dimensionen und Basis berechnen

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionen und Basis berechnen
Hallo zusammen,

ich soll in folgender Aufgabe Basis und Dimension berechnen:

Gegeben sind die Vektoren:

In Aufgabenteil a) sollte ich bereits die Basis und Dimension von bestimmen. Da habe ich erhalten:

Basis von ist und somit und Basis von ist und somit .

Nun aber zur Frage, ich soll nun Basis und Dimension von bestimmen. Ich hatte dann jetzt gedacht, dass die Basis von die Vereinigung von den Basen von und ist , insofern ich dann noch solange "kürze" bis die Menge lin. unabh. ist.

Dann bekomme ich heraus : Basis ist und somit

Aber wie berechne ich nun die Basis von ?

Aufgrund der Formel : weiß ich bereits dass die Dimension von 1 beträgt.

Aber wie bestimme ich die Basis ?

LG

Snexx_Math
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Also nur , dass passt ja wegen der Dimension ,was wäre denn eine errechnete Begrüdnung ? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt letztlich für Skalare die Gleichung



lösen. Man erhält das lineare Gleichungssystem



Mit dem Gaußschen Algorithmus bekommt man



Aus der dritten Zeile errechnet man , danach aus der zweiten , und mit beiden Werten aus der ersten Zeile .
Die Lösungen der Gleichung sind daher, wenn man die rechte Seite nimmt, wegen :

mit

Und wenn man die linke Seite nimmt (wegen ):

mit

In beiden Fällen ist das der von erzeugte Unterraum.

Du kannst natürlich auch ganz anders argumentieren: Wegen der Dimensionsformel weißt du, daß die Dimension 1 besitzt. Du mußt jetzt nur einen einzigen von Null verschiedenen Vektor finden, der in liegt, und schon muß dir dieser den Schnitt erzeugen. Offensichtlich ist geeignet, denn , und trivialerweise . Das ist das, was die Graphik in meinem vorigen Beitrag zeigt.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst einmal für die tolle Antwort smile

Zitat:
Die Lösungen der Gleichung sind daher, wenn man die rechte Seite nimmt, wegen : mit
Und wenn man die linke Seite nimmt (wegen ): mit


Dann hätte man ja jetzt, dass :
Woran macht man dann jetzt fest, dass in beiden Fällen dies der von v3 erzeugte Unterraum ist ?

Also klar die Vektoren v1,v2,v3 sind lin. abh. aber ist das der Grund ?
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