Reellwertige Lösungen von Linearen Homogenen Differentialgleichungen

07.07.2018, 14:33	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Reellwertige Lösungen von Linearen Homogenen Differentialgleichungen Hallo alle zusammen Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe bzw. ich glaube das die Lösung zu einfach ist. Aufgabe: Lösen SIe die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und geben Sie dabei nur reellwertige Lösungen an: c.) $\begin{eqnarray} y^{(6)}(x)+ 27y^{(4)}(x)+ 243y''(x)+729y(x)=0 \end{eqnarray}$ Diese Aufgabe hat aber keine reelle Lösung, da jeder Summand positiv ist. Wolframalpha hat mir noch gesagt $\begin{eqnarray} y^{(6)}(x)+ 27y^{(4)}(x)+ 243y''(x)+729y(x)=(x^2+9)^3 \end{eqnarray}$ Womit direkt leichter ersichtlich ist, dass es keine reelle Lösung gibt sondern nur die komplexen $\begin{eqnarray} x_1 = 3i \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x_2=-3i \end{eqnarray}$ beides sind 3 fache komplexe Nullstellen. Oder verstehe ich die Aufgabe nicht? Ich danke euch für eure Hilfe. Viele Grüße
07.07.2018, 15:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bringst die Funktion y(x) und deren Ableitungen mit der charakteristischen Gleichung durcheinander. Letztere lautet (mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} y(x) = c e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} (\lambda^2 + 9)^3 = 0 \end{eqnarray}$ Die Lösungen für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bestimmen dann $\begin{eqnarray} y(x) = c_1 e^{3ix} + c_2 .. = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
08.07.2018, 15:24	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
mYthos, ich Danke Dir für die schnelle Antwort. Ich habe es verstanden. Mein Problm an der Stelle war, dass die Nullstellen im komplexen liegen und in der Aufgabenstellung etwas mit reellwertigen Lösungen stand. Ich wünsche dir einen schönen Restsonntag

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