Rang von linearen Abbildungen

07.07.2018, 21:20	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang von linearen Abbildungen Hallo zusammen, Ich bräuchte mal nen Anschub für folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} U,W,V \end{eqnarray}$ endliche dimensionale K-Vektorräume und $\begin{eqnarray} f:U \rightarrow V , g:V \rightarrow \end{eqnarray}$ W lineare Abbildungen. Vorab : Wir hatten den Rang nur in zusammenhang mit Matrizen, was ist der Rang einer linearen Abbildung ? Ich nehm jetzt mal , da es am nähesten liegt, dass $\begin{eqnarray} Rang(f) = dim(Bild(f)) \end{eqnarray}$ a) Zu zeigen: $\begin{eqnarray} Rang (g \circ f) \leq min(Rang(g), Rang(f)) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Es gilt ja sicherlich: $\begin{eqnarray} Bild(f)=f(U) \subseteq V \wedge g(V) \subseteq W \Rightarrow g(f(U)) \subseteq g(V) \subseteq W \end{eqnarray}$ , da nun Das $\begin{eqnarray} Bild(g) \end{eqnarray}$ UVR von W ist und $\begin{eqnarray} Bild(g\circ f) \subseteq Bild(g) \subseteq W \end{eqnarray}$ , gilt ebenfalls, dass $\begin{eqnarray} Bild(g \circ f) \end{eqnarray}$ UVR von W , aber auch UVR von $\begin{eqnarray} Bild(g) \end{eqnarray}$ ist, da $\begin{eqnarray} Bild(g) \end{eqnarray}$ selbst wieder ein Vektorraum ist $\begin{eqnarray} \Rightarrow dim(Bild(g \circ f)) \leq dim(Bild(g)) \Leftrightarrow Rang(g \circ f) \leq Rang(g) \end{eqnarray}$ Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} Rang(g \circ f) \leq Rang(f) \end{eqnarray}$ Aber ich komme da überhaupt nicht weiter, ein kleiner Anschub wäre echt nett LG Snexx_Math
08.07.2018, 11:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen vergrößern die Dimensionen der abgebildeten Räume nicht (siehe Rangsatz).
08.07.2018, 15:13	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es ist einfach die Tatsache , die aus dem Dimensionensatz folgt: $\begin{eqnarray} dim \ g(f(U)\leq dim \ f(U) \end{eqnarray}$ Ich soll auch noch zeigen, dass , wenn $\begin{eqnarray} U=V=W , rang(f)-rang(g) \leq rang(f+g)\leq rang(f) + rang(g) \end{eqnarray}$ Allerdings stehe ich da schon wieder vor nichts, Ich würde jetzt nur mal behaupten, dass: $\begin{eqnarray} -dim \ V \leq rang(f)-rang(g) \leq dim\ V \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} 0 \leq rang(f+g) \leq dim\ V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq rang(f)+rang(g) \leq 2 \cdot dim\ V \end{eqnarray}$ Aber wie ich jetzt die Behauptung zeige , weiß ich nicht

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