[Funktionentheorie] Uneigentliche reelle Integrale

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
[Funktionentheorie] Uneigentliche reelle Integrale
Hallo und schönen Sonntag smile

ich sitze gerade (unter anderem) an der Berechnung von mit dem Hinweis .

Nun habe ich daher gebildet .

Ja, aber weiter sehe ich leider auch nicht.
Die Differenz auseinanderziehen bringt es nicht, da divergiert.
Wir hatten in der Vorlesung kürzlich den Residuensatz. Aber bisher habe ich keinen passenden Anfang damit gefunden unglücklich

Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch nun um das Integral . Da nimmst du als Kontur natürlich einen großen Halbkreis über der reellen Achse (mathematisch positiv) und läufst dann auf der Achse zurück, wobei du bei Null aufpassen musst. Da hat du auch noch einen kleinen Halbkreis (in mathematisch negativer Richtung). Das Integral über den großen Kreis verschwindet nach Lemma von Jordan. Überlege dir also nun das Integral über den kleinen Halbkreis.

PS: Kennst du eigentlich den Satz von Plancharel? Damit kannst du dein Integral auch leicht berechnen. Es ist nämlich:



Und damit:

forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, da verstehe ich leider manches nicht.

Erstens: Wir hatten weder den Satz von Plancharel noch das Lemma von Jordan. Aber das ist ja vielleicht erstmal nicht so wild.

Zweitens:
Wenn ich betrachte und ich einen gr0en Halbkreis nehme (der ja von -R bis R geht), dann habe ich doch im Endeffekt das Integral von bis , oder?

Drittens:
Wenn ich nun den von dir beschrieben Weg gehe, dann gehe ich auf einem Halbkreisbogen von R bis -R.
Von dort laufe ich zurück, aber mache einen kleinen Halbkreisbogen über den Ursprung.
Ok, nun könnte ich ja den ersten Halbkreisbogen paramterisieren und abschätzen, das würde dann null.
Betrachte ich also:
sowie
und
.

Diese drei Wege parametrisieren doch die Strecke auf der x-Achse, oder?

Sorry, ich steige leider nicht durch die Lösung.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist aber:



Wir berechnen nun also:



Ich kann leider nicht so tolle Bilder machen wie Leopold, daher verlinke ich einfach mal folgenden Thread, welchen ich gerade gefunden habe. Der Integrationsweg ist ja ähnlich, wir haben nur einen kleinen Halbkreis um den Ursprung - wie du richtig schreibst.

Reelle Integrale (Residuensatz?)

Bei uns gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz also:



Nun sei das Integral über den großen Halbkreis, geht also für gegen Null.

ergibt im Grenzübergang und ja gerade unser gesuchtes Integral.

Bleibt also nur noch das Integral , also jenes über dem kleinen Halbkreis.

Dieses würde ich wie folgt berechnen:

Es ist , wie du leicht mit L'Hospital zeigen kannst. Ergo hat deine Funktion einen einfachen Pol bei mit Residuum .

Nun nutzen wie das Korollar, welches Sangchul Lee hier gepostet hat. Beachte, dass wir aber im Uhrzeigersinn, also mathematisch negativ den kleinen Halbkreis durchlaufen. Das Integral berechnet sich also einfach als:

für

Setzen wir nur noch ein in erhalten wir also im Grenzübergang:

und somit

Betrachten wir den Realteil und beachten die Vorfaktoren landen wir natürlich wieder bei .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch hier
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich danke euch zwar für eure Mühen, aber das ist eine Aufgabe, bei der ich aktuell nicht durchsteige.
Ich fürchte auch, dass vieles hier den von uns behandelten Stoff verlässt.
Es ist zwar schade, da ich mich damit selbst gerne befasse, aber ich muss in dem Stoff bleiben, der uns gegeben wird.
Ich versuche es natürlich nochmal, aber mir bleibt leider keine Zeit dafür, die anderen Aufgaben müssen auch gemacht werden.
Das System ist nunmal schlecht.

Ich würde euch gerne mal die anderen beiden Aufgaben zeigen und euch um einen Ansatz bitten, soweit möglich. Ich verzweifle hieran und das macht mich rasend...
Es ist ja nicht so, dass ich das nicht verstehen will.

[attach]47638[/attach]

Wir beschäftigen uns nun mittlerweile am dritten Tag mit diesen Aufgaben, es will einfach nichts kommen.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nun zu 1 fällt mir spontan folgendes ein:



Und damit nach Ergänzungssatz.

Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunkt...spezielle_Werte

Da wirst du natürlich meckern. Also bleibt wieder der Residuensatz. Hier die Kontur:

[attach]47639[/attach]

Wenn du aber die alte Aufgabe nicht verstehst, wirst du hier (so denke ich zumindest) auch nicht viel Erfolg haben. Vielleicht hilft ja Leopold noch mal weiter, ich weiß nicht was ich anders erklären könnte.

Zu 2:

Mit folgt und . Damit:



Dazu musst du natürlich wieder den Residuensatz bemühen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Nun zu 1 fällt mir spontan folgendes ein:




Wieso wird nach der Substitution der Zähler zu ?
Ich setze doch
Das kürzt sich doch dann zu , oder?

Edit: Die Frage unten hat sich erledigt. Ich lasse sie der Vollständigkeit halber aber stehen.

Und zum zweiten:
Zitat:
Zu 2: Mit folgt und . Damit: Dazu musst du natürlich wieder den Residuensatz bemühen.


Nachdem du rausgezogen hast: Warum wird der letzte Summand zu , statt zu ?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich. Du hast recht. Ich wusste ich hätte erst ein Kaffee nach der Mittagsstunde trinken sollen. Richtig ist:



siehe dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_...ion#Allgemeines

Verzeih mir bitte!

Gute Nacht. Wink
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr. Das schaue ich mir gleich morgen an smile

Ich formuliere Aber Schonmal meine frage zürn zweiten Aufgabe:
Die Substitution und die Umformungen sehe ich ein. Aber Wie wird schlussendlich das integral berechnet? Den residuensatz kenne ich nur für uneigentliche integrale.
Hier haben Wien ja nun eine Kontur, nämlich einen Kreis

Auch eine gute Nacht smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du hast den Residuensatz noch überhaupt nicht verstanden. Vll guckst du erstmal in ein Buch. Das hier wäre auch ein Anfang:

[attach]47643[/attach]
[attach]47644[/attach]

Hier ist . Für haben wir einen Pol bei , welcher innerhalb der Kontur liegt. Berechnen wir also das Residuum:



Und damit folgt (s.o):



Wenn du das verstanden hast kannst du dir ja noch mal die erste Aufgabe angucken und auch die zweite versuchen.
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