Punkte der waagerechten Tangentialebene bestimmen

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Homer7 Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte der waagerechten Tangentialebene bestimmen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Ich soll die Punkte der waagerechten Tangentialebene dieser Funktion bestimmen:

f(x,y): xy/8-1/x+1/y



Meine Ideen:
Um die Punkte zu bestimmen habe ich die Ableitung 1. Ordnung bestimmt

fx(x,y)= y/8+1/x^2
fy(x,y)= x/8-1/y^2

Um die Punkte zu bestimmen, muss ich die Funktionen 1. Ordnung = 0 setzen.

Nun mein Problem, ich weiß nicht wie ich die 2 Gleichungen auflösen muss um auf die Punkte zu kommen, da der Faktor von x und y in der jeweils anderen Gleichung unterschiedlich ist. Meine Idee war in die erste Gleichung für y=8 und x=1 und x=-1 in die 2. Gleichung einzusetzen. Somit komme ich auf die Punkte (1/8 / 8), (1/ wurzel8), (-1/wurzel8) und (-1/8 / -8). Stimmt das oder habe ich die Gleichung falsch aufgelöst?

Vielen Dank für eure Hilfe!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Gleichungssystem ist sowohl x als auch y ungleich Null, denn beide stehen im Nenner.
-->
Nach Multiplikation ist




------------------------------------

Damit stimmen deine Punkte NICHT, wie du sogleich durch die Probe sehen hättest können!
Addiere beide Gleichungen und dividiere anschließend durch xy (dies geht, weil beide, x und y ungleich Null sind):





Damit gehe in eine der beiden Gleichungen (1) oder (2) ein ...
[(2; -2)]

mY+
Homer8 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mythos,

Danke für deine schnelle Rückantwort!
Leider kann ich deinem Lsöungsweg nicht ganz folgen, du multiplizierst eine gleichung und dividierst anschließend durch xy da hinreichende Bedingung x=y=nicht 0.

Ich kann nachvollziehen, dass 0 ausgeschlossen wird da im Nenner, der rest ist mir allerdings schleierhaft.

Könntest du deine Lösungsschritte darstellen?

Nochmals danke für deine Hilfe!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformungen zur Lösung des Systems erfordern lediglich algebraische Unterstufenkenntnisse, diese werden dir doch sicher bekannt sein.

Beide Gleichungen werden multipliziert, die erste mit und die zweite mit
Wenn du danach beide Gleichungen addierst, fallen die 8 weg und es entsteht







In die erste Gleichung anstatt y eben -x einsetzen, ergibt



Natürlich kannst du auch "klassisch" vorgehen, d.h. eine Unbekannte aus einer Gleichung in der anderen ausdrücken und dann in die andere Gleichung einsetzen.







Du wirst erkennen, dass diese Methode nicht so elegant ist ...

mY+
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