Auf Stammfunktion prüfen mit Integrabilitätsbedingung

08.07.2018, 16:46

Orly

Auf Stammfunktion prüfen mit Integrabilitätsbedingung

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Hallo,

Meine Frage bezieht sich auf den letzten Satz dieser Aufgabe. Ich habe das Integral schon berechnet und nehme jetzt mal a1 als Beispiel. Mein Ergebnis lautete:

1/2 [x^2+y^2-x0^2-y0^2] = f1(x,y)

Nun zur Stammfunktion: Mit der Suche bin ich darauf gestoßen, dass man zuerst df/dx und df/dy bestimmt und diese dann wiederum jeweils nochmal partiell nach x bzw. y ableitet.

Wenn ich das hier mache bekomme ich

df/dx = x ; df/dy = y

Und dann partiell abgeleitet und auf Gleichheit überprüft: 1 = 1

Demnach ist f1(x,y) eine Stammfunktion.

Ist das korrekt? Was sind Integrabilitätsbedingungen? Geht das immer nach diesem Muster oder gibt es da andere Möglichkeiten?

Vielen Dank schon mal!

09.07.2018, 11:41

Huggy

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RE: Auf Stammfunktion prüfen mit Integrabilitätsbedingung

Zitat:

Original von Orly
Meine Frage bezieht sich auf den letzten Satz dieser Aufgabe. Ich habe das Integral schon berechnet und nehme jetzt mal a1 als Beispiel. Mein Ergebnis lautete:

1/2 [x^2+y^2-x0^2-y0^2] = f1(x,y)

Das ist richtig. Der Rest passt nicht so ganz. Dröseln wir die Sache mal für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auf.

Es sei ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) \end{eqnarray*}$ oder kurz $\begin{eqnarray*} \vec f=(f_x,f_y) \end{eqnarray*}$ gegeben. In deinem ersten Beispiel ist also $\begin{eqnarray*} \vec f=(x,y) \end{eqnarray*}$ .

(1) Eine Funktion $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ heißt Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F}{\partial x}=f_x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial F}{\partial y}=f_y \end{eqnarray*}$

Die von dir gefundene Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ erfüllt das, wie du gezeigt hast. Sie ist also eine Stammfunktion des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ . Um weitere Ableitungen bzw. die Integrabilitätsbedingung musst du dich deshalb nicht mehr kümmern.

Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante bestimmt, denn die fällt beim Ableiten ja weg.

(2) Die Integrabiltätsbedingung kommt ins Spiel, wenn man noch keine Stammfunktion gefunden hat und wissen möchte, ob das Vektorfeld überhaupt eine hat. Sie lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $\begin{eqnarray*} G \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ hat genau dann eine Stammfunktion, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f_x}{\partial y}=\frac {\partial f_y}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, dann ist Wegintgral über $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ von einem festen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec r_0 \end{eqnarray*}$ über eine beliebige Kurve zu dem allgemein Punkt $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ . Das Wegintegral hängt dann nur vom Anfangspunkt und vom Endpunkt ab, aber nicht vom Verlauf der Kurve dazwischen.

09.07.2018, 20:57

Orly

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Danke für die Antwort.

Ich muss aber doch nochmal nachfragen:

Das was du bei (1) geschrieben hast verstehe ich so, dass ich mein errechnetes f1 als die Stammfunktion betrachte zu a1. Dann kann ich f1 total nach x bzw. y ableiten und das muss gleich der partiellen Ableitung von a1 nach x bzw. y sein.

Zu (2): Du sagst ja wenn wir klären wollen ob eine Stammfunktion überhaupt existiert nutzen wir die Integrabilitätsbedingung. In der oben genannten Aufgabe geht es ja genau darum also würde ich das hier anwenden:
Wir haben eine Funktion f bestimmt und wollen nun wissen ob dazu eine Stammfunktion existiert deshalb nutzen wir die Integrabilitätsbedingung. Diese ist ja laut deiner Aussage genau so gegeben wie ich es auch gemacht habe, also die partiellen Ableitungen nach x und y bestimmen und diese nochmals total ableiten.

Was ich damit sagen will ist, dass ich gerade ein wenig verwirrt bin, da ich beide Punkte zwar glaube zu verstehen aber einmal betrachtest du (wenn ich das wirklich richtig verstanden habe) das von mir errechnete f1 als Stammfunktion zu a1 und einmal betrachtest du nur f1 und überprüfst ob eine Stammfunktion dazu existiert.

Habe ich das richtig verstanden? Was ist denn nun auf meine Aufgabe bezogen der "richtige" Weg?

Danke

10.07.2018, 08:48

Huggy

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Das ist noch nicht verstanden. Also noch mal langsam für dein erstes Beispiel.

(1) Du hast über das Wegintegral die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bekommen. Nun möchtest du prüfen, ob $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu dem Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ ist. Dazu bildest du die partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und stellst fest:

$\begin{eqnarray*} (\frac {\partial f_1}{\partial x}, \frac {\partial f_1}{\partial y})=(x,y)=\vec a_1 \end{eqnarray*}$

Damit steht fest, $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ , denn die vorige Gleichung ist ja gerade die Definition der Stammfunktion. Es ist auf diesem Weg nicht mehr nötig, noch die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ zu bilden und zu prüfen, ob sie die Integrabilitätsbedingung erfüllen.

(2) Alternativ hättest du vor der Berechnung des Wegintegrals erst die Integrabiltätsbedingung prüfen können. $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert und das ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial a_{1x}}{\partial y}=\frac {\partial x}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial a_{1y}}{\partial x}=\frac {\partial y}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial a_{1x}}{\partial y}=\frac {\partial a_{1y}}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Also ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Daher besitzt $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion. Das steht jetzt fest, auch ohne dass du die Stammfunktion schon kennst. Wenn du jetzt das Wegintegral bildest, weißt du schon, dass es eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ ist. Es ist auf diesem Weg nicht mehr nötig zu prüfen, ob die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Das ist schon sicher, weil die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Man kann es natürlich trotzdem machen. Doppelt gemoppelt hält besser.

Beachte noch, dass du oben die falschen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \vec a_1 \end{eqnarray*}$ gebildet hast.

(3) Das Ausrechnen von Wegintegralen ist meist schwieriger als die Prüfung der Integrabiltätsbedingung, wo man nur Ableiten muss. Man wird also üblicherweise erst mal die Integrabilitätsbedingung prüfen. Ist sie erfüllt, kann man zum Finden einer Stammfunktion einen Weg wählen, der das Wegintegral möglichst einfach macht. Man weiß ja jetzt, dass das Wegintgral unabhängig vom konkreten Weg ist und immer zu einer Stammfunktion führt.

Nach dem Text deiner Aufgabe sollst du beide Wege gehen:

a) Wegintegral ausrechnen und durch Ableiten prüfen, ob es eine Stammfunktion ist.
b) Die Integrabiltätsbedingung durch Bilden der (richtigen) Ableitungen des Vektorfeldes prüfen und damit sicherstellen, dass das Wegintegral eine Stammfunktion ist.
In einem deiner 3 Fälle hat das Vektorfeld keine Stammfunktion.

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