Flächeninhalt bestimmen

09.07.2018, 09:18

ari86

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Flächeninhalt bestimmen

Ich habe folgende aufgabe vor mir :

Berechne den Flächeninhalt oberhalb der x-Achse, der vom Graphen der Funktion
f(x) = 2(x+2)(x+1)x=2x³+6x²+4x
und der x-achse eingeschlossen wird.

Was ich jetzt aber nicht verstehe warum die formel so ist. Ich kenne das wohl wenn man z.b nur die formel 2x³+6x²+4x stehen hat und mit dieser rechnen soll. Aber wie gehe ich bei der obigen formel f(x) vor?

bei 2x³+6x²+4x würde ich ja die abc-formel verwenden und dann mitm integral nach der fläche suchen, aber was mache ich mit der obigen formel ?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

09.07.2018, 09:59

Mathema

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \textcolor{red}{2(x+2)(x+1)x} =\color{blue}{2x³+6x²+4x} \end{eqnarray*}$

An der roten Funktionsgleichung kannst du leicht die Nullstellen ablesen. Die blaue kannst du leicht integrieren.

09.07.2018, 10:03

ari86

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also 2 und 1? und beim integrieren kann ich die rote gleichung ignorieren sozusagen?

09.07.2018, 10:05

Mathema

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Zitat:

also 2 und 1?

Nein.

Zitat:

und beim integrieren kann ich die rote gleichung ignorieren sozusagen?

Ja.

09.07.2018, 10:07

ari86

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- 2 und -1?

09.07.2018, 10:10

Mathema

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Das sind zwei (richtige) Nullstellen. Es gibt noch eine dritte.

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09.07.2018, 10:16

ari86

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kann ich nicht sagen

09.07.2018, 10:21

Mathema

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Schau dir den letzten Faktor in der roten Darstellung an.

PS: Ich bin nun erstmal kurz weg. Wink

Wink

09.07.2018, 10:36

ari86

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kann ja nur noch 0 sein, weil x = 0 oder wie auch immer die logik hier ist

09.07.2018, 11:42

Mathema

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Ja, natürlich. Die Logik ist der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt wird Null, wenn ein Faktor Null wird. Der Faktor $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ wird Null für $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ , der Faktor $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ wird Null für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und der Faktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird Null für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

09.07.2018, 15:56

ari86

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achso..also sind die nullstellen 0,1 und 2?

09.07.2018, 17:07

HAL 9000

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Eigentlich hatte Mathema das schon deutlich genug bestätigt, aber bitte:

Ja, ja und ja (für jede Nullstelle eine gesonderte Bejahung). Sind das jetzt genug Jas ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.07.2018, 18:37

ari86

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sicher?? oder doch eher -1, -2 und 0? ^^

09.07.2018, 19:16

Mathema

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Auf doofe Fragen gibt es eben doofe Antworten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was soll das hier?

09.07.2018, 20:18

HAL 9000

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Ich hab tatsächlich die Vorzeichen übersehen. Tja, das kommt davon wenn man idiotischerweise zigmal nachfragt (obwohl die Antworten längst schon gegeben wurden), dann sind die Helfer dann so entnervt, dass ihnen dann auch solche Fehler unterlaufen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.07.2018, 08:20

ari86

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es gibt keine dummen fragen, aber danke trotzdem. ich frage eben nach wenn aus den antworten nicht genug herausgeht. ist ja schön dass ihr so perfekt seid. selbst beim übersehen von vorzeichen bin ich schuld ^^

10.07.2018, 10:33

ari86

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Bitte noch mal kurz um ne hilfe ^^

Es geht um Flächenbestimmung. Nullstellen, F(x) bestimmen und rechnen mit Integralen, alles kein Problem. Aber woher weiss ich wo der Graph verläuft und ich zum Beispiel nicht von 0 zu -1 und von 0 zu eins integrieren soll, sondern nur von 0 zu 1? Hab noch paar Bilder eingefügt wo ich einzeichnen soll wo der Graph verläuft.
Vielen Dank nochmal, sorry für die vielen Fragen :P

10.07.2018, 10:35

ari86

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ich stelle die frage mal anders, woher weiss ich wo der graph unterhalb der x-achse verläuft?

10.07.2018, 11:01

HAL 9000

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Polynome wie dein $\begin{eqnarray*} f(x) = 2(x+2)(x+1)x \end{eqnarray*}$ wechseln "beim Durchgang" durch die Nullstellen jeweils das Vorzeichen, aber Obacht: Bei mehrfachen Nullstellen wechseln sie es an diesen Stellen entsprechend auch mehrfach!

Dein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat nur einfache Nullstellen. Zweckmäßigerweise fängt man nun "von oben" an, denn für Polynome positiven Grades mit ebenfalls positivem Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist stets $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ , und damit haben wir folgendes Vorzeichenverhalten der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ : positiv
$\begin{eqnarray*} x\in (-1,0) \end{eqnarray*}$ : negativ
$\begin{eqnarray*} x\in (-2,-1) \end{eqnarray*}$ : positiv
$\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$ : negativ

Bei einem Polynom $\begin{eqnarray*} g(x) = (x+2)(x+1)^2 \end{eqnarray*}$ hingegen haben wir die zweifache Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und entsprechend folgende Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x\in (-1,\infty) \end{eqnarray*}$ : positiv
$\begin{eqnarray*} x\in (-2,-1) \end{eqnarray*}$ : positiv
$\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,-2) \end{eqnarray*}$ : negativ

D.h., an der Stelle x=-1 gibt es keinen wirklichen Vorzeichenwechsel: Kurz vorher sind die Funktionswerte positiv, danach auch, aber an der Stelle selbst haben wir natürlich $\begin{eqnarray*} g(-1)=0 \end{eqnarray*}$ .

10.07.2018, 12:49

ari86

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Danke an HAL 9000, habs hinbekommen! Tanzen

Tanzen

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