Konvexität nachweisen

09.07.2018, 20:56

integrationass.

Konvexität nachweisen

Meine Frage:
Hallo,
wenn ich eine Nutzenfunktion U(x_1,x_2)=... gegeben hab und überprüfen muss,ob sie konvex oder konkav ist, reicht es wenn ich jeweils die partiellen Ableitungen bilde also zweimal nach x_1 abgeleitet und zweimal nach x_2 und wenn die dann > 0 ist es konvex ?

Meine Ideen:
Würde mich auf eine Antwort freuen.
LG!

12.07.2018, 09:26

HAL 9000

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Im mehrdimensionalen ist das etwas komplizierter:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ein konvexes Gebiet, und $\begin{eqnarray*} f:\;G\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine zweimal differenzierbare Funktion. Hinreichend für die Konvexität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist dann die positive Semidefinitheit der Hesse-Matrix auf dem gesamten Gebiet.

Die bloße Betrachtung der zweimaligen Ableitung nach Einzelkomponenten reicht also im Fall $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ nicht aus - Beispiel:

Für $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2) = x_1^2 - 3x_1x_2 + x_2^2 \end{eqnarray*}$ haben wir zwar $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = 2 > 0 \end{eqnarray*}$ , aber dennoch keine Konvexheit:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(1,1) = f(-1,-1) = -1 < 0 = f(0,0) \end{eqnarray*}$ , und das widerspricht der Konvexheit, denn (0,0) ist der Mittelpunkt der Strecke von (-1,-1) zu (1,1).

Die Hesse-Matrix lautet hier übrigens

$\begin{eqnarray*} H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -3 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

und die ist nicht positiv semidefinit (ein Eigenwert positiv, der andere negativ).

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