Stochastische Prozesse und Polynome von Zufallsvariablen

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Prozesse und Polynome von Zufallsvariablen
Hallo,

mich umtreibt die Bedeutung von Ausdrücken wie

, mit t aus einer Indexmenge (typischerweise die Zeit) und X_t jeweils Zufallsvariablen. a ist eine Konstante.

Was bedeutet dies nun genau? M.E.n. bedeutet dies, dass die Zufallsvariable zum Zeitpunkt t gegeben ist als Produkt einer Konstanten mit der Zufallsvariablen zum Zeitpunkt t-1. Damit will ich sagen, dass dies KEINEN Zusammenhang zwischen der konkreten Realisierung von X_t und X_t-1 in einem bestimmen Prozess (ich bin mir hier unsicher über die korrekte Formulierung) herstellt. Ist das so korrekt? M.E.n. charakterisiert die Gleichung lediglich die Ziehung der Realisierung, nicht aber die konkrete Realisierung selbst (ausgenommen spezielle Dichtefunktionen).

Nehmen wir nun an ein stochastischer Prozess hätte zum Zeitpunkt t-1 die Realisierung 1 und a sei gleich 2. D.h. die Realisierung zum Zeitpunkt t ist nicht per se 2*1 = 2.

Liege ich richtig?

LaTeX-End-Tag korrigiert. Steffen
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Jemand eine Idee? Soll ich etwas unformulieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, Gleichung bedeutet so geschrieben tatsächlich



für alle und auch alle . Geht es hier um diskrete Zeitpunkte , dann ist das kein sonderlich spannender stochastischer Prozess, denn die Werte zu allen Zeitpunkten hängen via fest vom Wert zum Zeitpunkt 0 ab. Augenzwinkern


Was anderes wäre es, wenn du nur sagst, dass und nur gleich verteilt sind, aber beispielsweise unabhängig.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, da es sich um Zufallsvariablen handelt kann doch nicht die Realisierung deterministisch von der vorherigen Realisierung abhängen? Mein Beispiel wäre ein Autoregressiver Prozess. Ist es nicht so, dass die Gleichung aussagt, dass die Verteilung von X_t jener von a*X_{t-1} entspricht?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324
Moment, da es sich um Zufallsvariablen handelt kann doch nicht die Realisierung deterministisch von der vorherigen Realisierung abhängen?

Davon redet doch keiner. Sondern davon, dass bei ein- und derselben Realisierung (d.h. fest) die gesamte Trajektorie bereits durch den Wert zum Startzeitpunkt festgelegt ist als geometrische Folge. Aber so ist es eben, wenn du schreibst. Solltest du was anderes meinen, dann musst du es auch anders schreiben.


Zitat:
Original von Namenloser324
Mein Beispiel wäre ein Autoregressiver Prozess.

Meiner Kenntnis nach ist ein autoregressiver Prozess



mit einer Konstanten und Rauschwerten , die man i.d.R. (über betrachtet) als unabhängig annimmt. Aber selbst im Fall sowie , den du ja anscheinend betrachtest, hat man immer noch in



einen Rauschterm vorliegen, der dafür sorgt, dass die erwähnte Determiniertheit der Trajektorie so nicht vorliegt.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, danke!

Nehmen wir dann



So wie ich das lese ist die Zufallsvariable identisch zu einer anderen Zufallsvariable, nämlich multipliziert mit einer konstanten plus der Zufallsvariablen

Ich verstehe die Gleichung so, dass sie Aussagen über den Zusammenhang der Wahrscheinlichkeitsdichten der auftretenden Zufallsvariablen macht. Nehmen wir z.B. dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte von aus der Wahrscheinlichkeitsdichte die zu gehört und jener die zu gehört. Das macht aber keine Aussagen über (eine deterministische) Realisierung(en) von

Ich glaube was mich irritiert ist das Gleichheitszeichen im Zusammenhang mit Zufallsvariablen. Diese mappen aus einem Sampleraum in die reellen/komplexen Zahlen. Jeder Wert x hat dabei eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) >= 0.
Im Sinne einer "gewöhnlichen" Funktion würde ich eine Gleichung gemäß f = g mit f, g jeweils Funktionen (z.B. stetige Fkt. von R^1 -> R^1) wie folgt verstehen:

i) f(x) = g(x) für alle x
2) D(f) = D(g) (Definitionsbereiche sind identisch)
3) B(f) = B(g) (Bildbereiche sind identisch)

Wie sieht das Analogon bei Zufallsvariablen aus?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324
Ich glaube was mich irritiert ist das Gleichheitszeichen im Zusammenhang mit Zufallsvariablen. Diese mappen aus einem Sampleraum in die reellen/komplexen Zahlen. [...] Im Sinne einer "gewöhnlichen" Funktion würde ich eine Gleichung gemäß f = g mit f, g jeweils Funktionen (z.B. stetige Fkt. von R^1 -> R^1) wie folgt verstehen:

i) f(x) = g(x) für alle x
2) D(f) = D(g) (Definitionsbereiche sind identisch)
3) B(f) = B(g) (Bildbereiche sind identisch)

Wie sieht das Analogon bei Zufallsvariablen aus?

Exakt genauso. Eine Zufallsgröße ist eine (messbare) Funktion . Entsprechend bedeutet die Gleichheit zweier Zufallsgrößen die Gleichheit dieser beiden Funktionen, d.h., für alle .

Soweit also alles ganz normal. Eine Besonderheit in der Stochastik ist, dass man oft auch von P-fast sicher spricht. Damit ist gemeint, dass die Menge eine P-Nullmenge ist, oder anders ausgedrückt gilt, was gleichbedeutend mit ist. D.h., diese Forderung ist etwas schwächer als völlige Gleichheit. Viele Dinge in der Stochastik lassen sich besser bzw. sogar nur mit dieser nur fast sicheren Gleichheit statt exakter Gleichheit formulieren. Ein prominentes Beispiel ist die Bedingte Erwartung.


Zitat:
Original von Namenloser324
Nehmen wir z.B. dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte von aus der Wahrscheinlichkeitsdichte die zu gehört und jener die zu gehört.

"Ergeben" stimmt zwar irgendwie, aber konkret gesagt ist es die Faltung beider Dichten.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Ergeben" stimmt zwar irgendwie, aber konkret gesagt ist es die Faltung beider Dichten.

Ergeben hatte ich absichtlich gewählt, um die konkrete Berechnung zu verdecken, die war mir nicht so wichtig.

Zitat:
Exakt genauso.

Gut, die Ausgangsgleichung ist also Äquivalent zu mit * als Faltungsoperator?

Konkret an einem diskreten (hoffe das geht problemlos) autoregressiven Prozess mit und für alle t. Dann ist offenbar und und , und .

Stimmt das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324
Gut, die Ausgangsgleichung ist also Äquivalent zu mit * als Faltungsoperator?

Ja - sofern die unabhängig sind, und in ihrer Gesamtheit auch unabhängig vom Start (ich nehme an ).


Zitat:
Original von Namenloser324
Dann ist offenbar und

Ich weiß nicht, was daran "offenbar" sein soll - es sei denn, du setzt voraus, so dass ist. Davon war bisher keine Rede. verwirrt

Zur Verteilung von kann man wenig sagen, solange man Wert nicht kennt - ebenfalls eine fehlende Info. unglücklich


P.S.: Was soll eigentlich der angehängte Index an deinem W-Maß ? Lass den bitte weg, das erscheint mir ohne jeden Sinn.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,

entschuldige meine späte Antwort, ich bin im Urlaub (gefahren) smile

Vielen Dank, ich habe über das Problem weiter nachgedacht und habe es in meinem Kopf gelöst:
Ich war nicht sicher, ob die Ziehungen links und rechts einer Gleichung mit Zufallsvariablen auch zwingend immer die selben Realisierungen haben oder nicht.

Und es ist ersteres. Wenn gilt z.B.

, dann ist das Ergebnis von X festgelegt, sobald Y "gezogen" wurde. Das erklärt alle Schwierigkeiten die ich mit stochastischen Prozessen hatte. Ich hielt es für möglich, dass die Gleichung eben nur die Wahrscheinlichkeitsdichten von X mit Y verknüpft, aber "separate Ziehungen" für X und Y stattfinden.
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