Exponentialverteilung

11.07.2018, 01:12

Orly

Exponentialverteilung

Hallo,

Hier die Aufgabe, die ich gerade bearbeite:

[attach]47652[/attach]

a) Durch den zugehörigen Wikipedia-Artikel habe ich rausgefunden, dass hier tau = 1/lambda ist. Mit Tau = 10s folgt also lambda = 1/10 s

Die mittlere Lebensdauer ist dann ln2/lamba. Die Varianz ist 1/lambda^2. Ist das korrekt?

b) Wir setzen also t=1s in die Exponentialverteilung. Wie schließen wir dann auf die Wahrscheinlichkeit?

c) Dazu habe ich noch keine Idee.

Wäre für Hilfe sehr sehr dankbar!

11.07.2018, 08:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Orly
Die mittlere Lebensdauer ist dann ln2/lamba.

Nein: Die mttlere Lebensdauer ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ . Vielleicht verwechselst du das mit der Median-Lebensdauer, die ist in der Tat gleich $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(2)}{\lambda} \end{eqnarray*}$ .

b) Hinweis: Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(t) \end{eqnarray*}$ .

c) Hinweis: Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die Lebensdauer ist, dann hängt die Antwort hier mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(T>t_1 \mid T>t_0)= \frac{P(T>t_1)}{P(T>t_0)} = \frac{1-F(t_1)}{1-F(t_0)} \end{eqnarray*}$ zusammen.

11.07.2018, 15:59

Orly

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Verteilungsfunktion F(x)= 1-exp[-lambda*t]

Ich bin verwirrt, was hier meine variable ist was ich gleich 1s setzen sollte.

Ich verstehe auch nicht, wie hier am Ende eine Wahrscheinlichkeit herauskommen sollte.

Mit lambda = 1/10s und t=1s erhalte ich dann exp[-1/10]=0,905

Also leben nach einer Sekunde noch 90% der Atome also ist die Chance dass das Atom in der ersten Sekunde zerfällt 10%?

Sorry, dass ich da so langsam bin. Danke für deine Mühe.

11.07.2018, 16:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Orly
Mit lambda = 1/10s und t=1s erhalte ich dann exp[-1/10]=0,905

Also leben nach einer Sekunde noch 90% der Atome also ist die Chance dass das Atom in der ersten Sekunde zerfällt 10%?

Das ist soweit richtig, ja.

Zitat:

Original von Orly
Verteilungsfunktion F(x)= 1-exp[-lambda*t]

[...]

Ich verstehe auch nicht, wie hier am Ende eine Wahrscheinlichkeit herauskommen sollte.

Also das sind nun wirklich absolute Stochastikgrundkenntnisse: Der Verteilungsfunktionswert $\begin{eqnarray*} F(t) = P(T\leq t) \end{eqnarray*}$ ist ein Wahrscheinlichkeitswert, und zwar der für das Ereignis, dass $\begin{eqnarray*} T\leq t \end{eqnarray*}$ ist. Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} P(T>t) = 1-P(T\leq t) = 1-F(t) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen mindestens die Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durchhält. Bei sehr vielen Teilchen ist das dann statistisch gleich dem Anteil der Teilchen, die zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ noch nicht zerfallen sind.

12.07.2018, 21:18

Orly

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Hast recht, hab das jetzt mittlerweile auch kapiert. Vielen Dank für deine Hilfe.

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