Substitution oder Partielle Integration

12.07.2018, 09:54

Mo1997

Substitution oder Partielle Integration

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich der Substitution bzw partiellen Integration.
Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! x^{2}e^{2x} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun verstehe ich nicht, wieso ich hier nicht $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren kann, sondern partiell integrieren muss.

Meine Ideen:
Meiner Rechnung nach würde dann $\begin{eqnarray*} 1/6 x^{3} \end{eqnarray*}$ raus kommen, die Lösung ist allerdings $\begin{eqnarray*} 1/4 e^{2x}{1-2x+2x^{2}} \end{eqnarray*}$

12.07.2018, 10:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mo1997
Nun verstehe ich nicht, wieso ich hier nicht $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ substituieren kann

Niemand verbietet dir das, also tun wir es doch einfach: $\begin{eqnarray*} u=e^{2x} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}\ln(u) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{1}{2u} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ . Damit erhält man

$\begin{eqnarray*} \int x^2 e^{2x} ~ \dd x = \int \frac{1}{4}(\ln(u))^2 u\cdot \frac{1}{2u} ~ \dd u = \frac{1}{8} \int (\ln(u))^2 ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Da du ja meinst, auf diesem Weg zum Ziel zu kommen: Wie lautet dein weiterer Plan für dieses $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Integral? smile

Zitat:

Original von Mo1997
die Lösung ist allerdings $\begin{eqnarray*} 1/4 e^{2x}{1-2x+2x^{2}} \end{eqnarray*}$

Dies ganz gewiss nicht, sondern allenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}e^{2x} {\color{red}\Big(}1-2x+2x^2{\color{red}\Big)} \end{eqnarray*}$ . Aber Ok, dieser Fehler liegt vielleicht an mangelnden LaTeX-Kenntnissen.

12.07.2018, 10:39

Mo1997

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Ich habe im Anhang mal meine Rechnung, glaube aber mein Fehler liegt darin, dass ich x^2 nicht zu x^3 machen kann, da meine neue variable ja mittlerweile u ist. Kann das sein?

12.07.2018, 10:44

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \int x^2 ~ \dd u = \frac{1}{3} x^3 \end{eqnarray*}$ ist grober Unfug!!! Du tust da einfach so, als wäre $\begin{eqnarray*} \dd u = \dd x \end{eqnarray*}$ , was die ganze Substitution vorher ad absurdum führt. unglücklich

Diese Anmerkung trifft auch voll auf dein Vorgehen zu.

12.07.2018, 11:25

Mo1997

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Sorry, mein Fehler. Danke für die Hilfe Freude

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