Transformationssatz Anwendung

13.07.2018, 19:42	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationssatz Anwendung Hallo zusammen, ich würde gerne folgende Aufgabe hier zusammen erarbeiten, da ich das Thema noch nicht ganz verstanden habe: Sei $\begin{eqnarray} K:=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \vert z \geq 0 , x^2 +y^2 +z^2 \leq 1 \} \end{eqnarray}$ a) Geben Sie die Menge K in Kugelkoordinaten an. b) Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray} \int_{K} \! xyz \, dK \end{eqnarray}$ Bis jetzt bin ich schon so weit gekommen: a) Da $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=r^2 \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , gilt , dass $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2 \leq 1 \Rightarrow r^2 \leq 1 \Leftrightarrow r\leq 1 \end{eqnarray}$ Also ist die Menge K in Kugelkoordinaten (Nennen wir sie K') : $\begin{eqnarray} K':=\{ (r,\varphi ,\theta )\in ]0,\infty[\times ]0,2\pi [\times ]0,\pi[ \ \ \vert \ \ r\leq 1\} \end{eqnarray}$ b) Die Abbildung $\begin{eqnarray} T:]0,\infty[\times ]0,2\pi [\times ]0,\pi[ \rightarrow \mathbb R^3 \setminus \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \ \vert \ x\geq 0 , y \geq 0 \} \end{eqnarray}$ Hier verstehe ich schon nicht warum man noch die zusätzliche Menge $\begin{eqnarray} \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \ \vert \ x\geq 0 , y \geq 0 \} \end{eqnarray}$ herausnimmt. Hatten wir in der Vorlesung so gehabt in einem Beispiel, verstehen tue ich es allerdings nicht Aufjedenfall ist T nach Vorlesung ein Diffeomorphismus und $\begin{eqnarray} T(r, \varphi , \theta ) = (rsin(\theta )cos(\varphi ), r sin(\theta ) sin(\varphi ), r cos(\theta )) \end{eqnarray}$ und \| $\begin{eqnarray} det \ DT(r, \varphi , \theta ) \|= r^2 \cdot sin(\theta ) \end{eqnarray}$ Also kann man sagen: $\begin{eqnarray} (f\circ T)(r, \varphi , \theta )= r\cdot sin(\theta )\cdot cos(\varphi ) \cdot r \cdot sin(\theta )\cdot sin(\varphi ) \cdot r \cdot cos(\theta ) = r^3\cdot sin^2(\theta ) \cdot cos(\theta ) \cdot sin(\varphi ) \cdot cos(\varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{K} \! xyz \, dK = \int_{K'} \! r^3\cdot sin^2(\theta ) \cdot cos(\theta ) \cdot sin(\varphi ) \cdot cos(\varphi) \cdot r^2 \cdot sin(\theta ) \, dK' = \int_{?}^{?} \! \int_{?}^{?} \! \int_{?}^{?} \! r^3\cdot sin^2(\theta ) \cdot cos(\theta ) \cdot sin(\varphi ) \cdot cos(\varphi) \cdot r^2 \cdot sin(\theta ) \, dr d\theta d\varphi \end{eqnarray}$ ich hatte mir jetzt für die Grenzen der folgenden 3 Integrale folgendes überlegt, aber bin mir total unsicher , ob das richtig ist: $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq 1 ,<br /> 0 \leq \theta \leq \pi , <br /> 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ Als ich damit aber gerechnet habe, musste ich iwann in sin \Pi einsetzen und dann war auf einmal alles Null , das müsste ja falsch sein. Also setz ich den Stopp mal hier und frage , ob die Grenzen richtig sind, das resultierende 3-fach Integral wäre also: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \int_{0}^{\pi } \! \int_{0}^{1} \! r^3\cdot sin^2(\theta ) \cdot cos(\theta ) \cdot sin(\varphi ) \cdot cos(\varphi) \cdot r^2 \cdot sin(\theta ) \, dr d\theta d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \! \int_{0}^{\pi } \! \int_{0}^{1} \! r^5\cdot sin^3(\theta ) \cdot cos(\theta ) \cdot sin(\varphi ) \cdot cos(\varphi) \, dr d\theta d\varphi \end{eqnarray}$ LG Snexx_Math

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