Berechnung von Integralen mit Fubini

13.07.2018, 19:51

Snexx_Math

Berechnung von Integralen mit Fubini

Hallo zusammen,

ich habe mal eine Nachfrage zu Doppelintegralen:

Warum muss man , wenn die Integrationsgrenzen des inneren Integrals von einer Variablen abhängt, beim Integraltausch die Grenzen der Integrale durch neue angepasste Grenzen ersetzt werden ?

Konkreter:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{2x}^{2} e^{\frac{x}{y}} \! \, dydx \end{eqnarray*}$

wird ja bei Integraltausch zu : $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{y}{2}} e^{\frac{x}{y}} \! \, dxdy \end{eqnarray*}$

Worin besteht denn im Allgemeinen die Notwendigkeit die Grenzen so anzupassen, also was wäre der fatale Fehler würde man ersters Integral einfach zu $\begin{eqnarray*} \int_{2x}^{2} \int_{0}^{1} e^{\frac{x}{y}} \! \, dxdy \end{eqnarray*}$ umformen ?

LG

Snexx_Math

13.07.2018, 19:57

HAL 9000

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RE: Nachfrage Berechnung von Integralen mit Fubini
Was soll denn bitte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im äußeren Integral für ein Wert sein??? Dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nur lokal im inneren Integral erklärt. unglücklich

Tatsächlich erschließt sich einem das ganze, wenn man sich das gesamte zweidimensionale Integrationsgebiet vorstellt - von mir aus auch "aufmalt":

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| 0\leq x\leq 1,\; 2x\leq y\leq 2\right\} = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| 0\leq 2x\leq y\leq 2\right\} \end{eqnarray*}$ .

13.07.2018, 20:25

Snexx_Math

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RE: Nachfrage Berechnung von Integralen mit Fubini
Tatsächlich mal ich mir die Graphen immer auf , um die neuen Grenzen zu ermitteln.
Da ich nicht so wirklich verstehe, wie man rechnerisch auf die neuen Grenzen kommt.

Da sieht man dann ja auch wie schon vorweggenommen, dass man die Grenzen tauschen und verändern muss , wenn man über die gleiche "Grundfläche" integrieren will.

Also liegt es letzendlich daran, dass man dann eine Variable im Endergebnis vorfindet , richtig ?

smile

13.07.2018, 21:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Da ich nicht so wirklich verstehe, wie man rechnerisch auf die neuen Grenzen kommt.

Eine Möglichkeit ist, mit Indikatorfunktionen zu arbeiten:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \int\limits_{2x}^2 e^{\frac{x}{y}} ~ \dd y ~ \dd x &=& \int\limits_0^1 \int\limits_0^2 1_{\{2x\leq y\}} \cdot e^{\frac{x}{y}} ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^2 \int\limits_0^1 1_{\{2x\leq y\}} \cdot e^{\frac{x}{y}} ~ \dd x ~ \dd y\\ &=& \int\limits_0^2 \int\limits_0^1 1_{\left\{x\leq \frac{y}{2}\right\}} \cdot e^{\frac{x}{y}} ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^2 \int\limits_0^{\frac{y}{2}} e^{\frac{x}{y}} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Damit kann man nämlich (wie gesehen) das Integrationsgebiet künstlich zu einem Rechteck machen, wo man dann direkt per Fubini die Integrationsreihenfolge vertauschen kann. Anschließend verkleinert man dann wieder das Integrationsgebiet gemäß der Information der Indikatorfunktion.

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