Potenzreihen und Umkehrfunktionen

13.07.2018, 20:22	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen und Umkehrfunktionen Hallo Leute, mir stellt sich schon seit einigen Tagen folgende Frage: Nehmen wir mal die altbekannte Exponentialreihe $\begin{eqnarray} epx(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ . Sie ordnet einer reellen Zahl also exp(x) zu bzw. $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ . Nun gibt es auf der anderen Seite den Logarithmus $\begin{eqnarray} ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist: Wie beweist man denn eigentlich, dass die beiden Funktionen sich gegenseitig umkehren? Wir haben das bisher als Definiton hingenommen und damit gearbeitet. Aber wie würde ein formaler Beweis dazu aussehen?
14.07.2018, 10:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mußt du deine Unterlagen einmal von dem Punkt ab, wo zum ersten Mal eine der beiden Funktionen auftaucht, durchgehen. Das wird sich schon zu einem Gesamtbild aufbauen, in dem sich die Funktionen als Umkehrungen voneinander erweisen. Und wenn es nicht so ist, würde ich beim Professor vorstellig werden. Vielleicht kriegst du ja einen Sonderpunkt für den gefundenen Zirkelschluß. Im übrigen kann man die Reihen zur Probe auch einmal ineinander einsetzen: $\begin{align} \exp \left( \ln(1+x) \right) = 1 + x \end{align}$ $\begin{align} \Leftrightarrow \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \right)^n = x \end{align}$ $\begin{align} \Leftrightarrow \ \ \color{blue} \left( - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \mp \ldots \right) \color{black} + \color{green} \frac{1}{2!} \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \mp \ldots \right)^2 \color{black} + \color{red} \frac{1}{3!} \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \mp \ldots \right)^3 \color{black} + \ldots = 0 \end{align}$ Jetzt ordnen wir um nach Potenzen von $\begin{align} x \end{align}$ . Ein Koeffizientenvergleich zeigt: $\begin{align} \color{blue} - \frac{1}{2} \color{green} + \frac{1}{2!} \color{black} = 0 \ \ \text{(quadratisches Glied)} \end{align}$ $\begin{align} \color{blue} \frac{1}{3} \color{green} + \frac{1}{2!} \cdot \left( - 1 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \right) \color{red} + \frac{1}{3!} \color{black} = 0 \ \ \text{(kubisches Glied)} \end{align}$ Das sieht doch schon einmal gut aus: 4 von unendlich vielen Koeffizienten erfolgreich überprüft. Das sind schon 0 %.
15.07.2018, 16:52	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, imer wieder schön, eine so einleuchtende Antwort zu erhalten. Das versuche ich gleich mal mit ein paar anderen Funktionen. Und wieder was dazugelernt. Danke sehr !

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