System linearer Differentialgleichungen lösen

14.07.2018, 22:03

MarkKäse

System linearer Differentialgleichungen lösen

Meine Frage:
Hallo Brainbugs Augenzwinkern

in meiner Frage geht es wie der Titel schon vermuten lässt um die Lösung eines linearen Gleichungssystems, welches ich als Bild angehangen habe.

Meine Ideen:
Selbstverständlich habe ich mir schon eigene Gedanken über die Lösung gemacht. Grundsätzlich habe ich auch gar keine Probleme beim Umformen/Ableiten/Einsetzen von anderen Aufgaben. Nur diese eine Aufgabe macht mich Wahnsinnig. Es geht mir hier wirklich nur über die Überführung der DGL von 2. in die 4. Ordnung.
Bei der weiteren Berechnung der Allgemeinen Lösung sehe ich kein Problem.

Die Lösung habe ich hier:
$\begin{eqnarray*} y2^{(4)} +y2^{(3)} -\frac{3}{2}y2^{(2)}-y2^{(1)}+\frac{1}{2}y2=e^{x} \end{eqnarray*}$

Nur wie komme ich dorthin??
Vielen Dank

Mark

16.07.2018, 09:40

klarsoweit

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RE: System linearer Differentialgleichungen lösen
Du könntest die 2. Gleichung nach y_1 auflösen und das dann in die 1. Gleichung einsetzen. Augenzwinkern

16.07.2018, 17:16

MarkKäse

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RE: System linearer Differentialgleichungen lösen
Meiner angehangenen Lösung zu urteilen, ist das auch offensichtlich.
Aber wie ich es drehe und wende es klappt bei mir nicht.
Es bleibt bei meinen Rechnungen immer ein zweites "y1" übrig, so dass ich nicht (wie vorgeschlagen) auflösen kann.

17.07.2018, 18:27

Mathema

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RE: System linearer Differentialgleichungen lösen
Hallo Mark,

Zitat:

Original von MarkKäse
Nur diese eine Aufgabe macht mich Wahnsinnig

nun ja - das ist ja nur einfache Umformung und einsetzen von Termen in Gleichungen.

Aus (2) folgt:

$\begin{eqnarray*} y_1=y_1''+2y_1'-y_2''+y_2'+e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1'=y_1'''+2y_1''-y_2'''+y_2''-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1''=y_1^{(4)}+2y_1'''-y_2^{(4)}+y_2'''+e^{-x} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in (1):

$\begin{eqnarray*} -y_2^{(4)}+2y_2''-y_2+y_1^{(4)}+3y_1'''+2y_1''=e^{x}\quad(*) \end{eqnarray*}$

Aus (2) folgt:

$\begin{eqnarray*} y_2=y_1''+y_1'+y_2''-e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2'=y_1'''+y_1''+y_2'''-e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2''=y_1^{(4)}+y_1'''+y_2^{(4)}-e^{x} \end{eqnarray*}$

Löse die dritte Gleichung nun nach $\begin{eqnarray*} y_1^{(4)} \end{eqnarray*}$ und die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} y_1''' \end{eqnarray*}$ auf und setze in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ ein. Dann erhältst du deine Gleichung aus dem Startbeitrag. Wie du siehst ist das einfachste Schulalgebra.

Wink

18.07.2018, 14:51

MarkKäse

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RE: System linearer Differentialgleichungen lösen
Tatsächlich habe ich mich nicht nur einmal, sondern gleich mehrmals verrechnet und kam deswegen nicht auf die Lösung. Hammer

Danke für deinen Ansatz!!

18.07.2018, 17:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathema
$\begin{eqnarray*} y_1=y_1''+2y_1'-y_2''+y_2'+e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1'=y_1'''+2y_1''-y_2'''+y_2''-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1''=y_1^{(4)}+2y_1'''-y_2^{(4)}+y_2'''+e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=y_1''+y_1'+y_2''-e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2'=y_1'''+y_1''+y_2'''-e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2''=y_1^{(4)}+y_1'''+y_2^{(4)}-e^{x} \end{eqnarray*}$

Technisch gesehen kann man diese 6 Gleichungen als homogenes Gleichungssystem vom Typ $\begin{eqnarray*} 6\times 12 \end{eqnarray*}$ in den 12 Variablen $\begin{eqnarray*} y_1^{(4)},y_1''',y_1'',y_1',y_1,y_2^{(4)},y_2''',y_2'',y_2',y_2,e^x,e^{-x} \end{eqnarray*}$ auffassen, mit der Koeffizientenmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0& 0& 1& 2&-1& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 2&-1& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0&-1\\ 1& 2&-1& 0& 0&-1& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0&-1&-1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0&-1& 0&-1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0&-1& 0& 0&-1& 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einmal so aufgestellt erspart einem das das ganze Ableitungsgeschreibsel... Diese Matrix überführt man via Gaußelimination in Dreiecksgestalt so, dass in der letzten (sechsten) Zeile am Ende in den ersten fünf Spalten (das sind die für die Variablen $\begin{eqnarray*} y_1^{(4)},y_1''',y_1'',y_1',y_1 \end{eqnarray*}$ ) Nullen stehen. Damit ist dieser Zeile dann die gesuchte DGL vierter Ordnung für $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ablesbar.

Zitat:

Original von Mathema
Wie du siehst ist das einfachste Schulalgebra.

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