Martingale und Stoppzeiten

15.07.2018, 01:10	TauTime	Auf diesen Beitrag antworten »
Martingale und Stoppzeiten Meine Frage: $\begin{eqnarray} \textup{Sei }(\Omega, \mathcal{A},\mathbb P) \textup{ein W-Raum und } X_i \textup{ eine Folge von reelwertigen iid ZV mit } <br /> \mathbb P(X_1=1)=p \in (\frac{1}{2},1] , \mathbb P(X_1=-1)=1-p.\\<br /> \textup{Sei } S_n:= \sum\limits_{i=1}^{n} X_i , S_0:=0<br /> \textup{. Sei eine Filtration geg durch} (\mathcal{F}_{n})_{n\in \mathbb N} := \sigma(X_k: k\leq n) \\<br /> <br /> <br /> \textup{Definieren für } b \in \mathbb Z <br /> \textup{ die Stoppzeit } \tau_b:=inf \left\{ n \in \mathbb N : S_n =b\right\} \\<br /> \textup{Es sei zunächst }b>0 .\\<br /> \textup{Zeigen Sie }\\<br /> \textup{a) Für alle } n\in \mathbb N \textup{ gilt: } \mathbb E [\tau_b \wedge n ] \leq \frac{b}{2p-1} \\<br /> \textup{( Wir dürfen ohne Beweis verwenden, dass } (M_n)_{n\in \mathbb N} : = S_n -(2p-1)_{n} \textup{ ein } \mathcal{F}_{n} \textup{ Martingal ist})\\<br /> b) \mathbb E[\tau_b] = \frac{b}{2p-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin momentan am üben und hab etwas Probleme was Stoppzeiten bzgl Martingale angeht..Ich hab nicht wirklich ein Gespür dafür bzw. verstehe beispielsweise nicht was für eine Bedeutung $\begin{eqnarray} \tau_b \wedge n \end{eqnarray}$ haben soll oder der genaue Unterschied zu $\begin{eqnarray} \tau_b. \end{eqnarray}$ Dennoch hab ich versucht durch paar Beispielaufgaben da reinzukommen,aber weit kam ich jetzt nicht: a) Das Optinal Sampling Theorem auf die Stoppzeit $\begin{eqnarray} \tau_b \wedge n anwenden , wir erhalten :<br /> [latex]\mathbb E[M_0]=\mathbb E[M_{\tau_b \wedge n } ] = 1-2p \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} M_{\tau_b \wedge n } = S_{\tau_b \wedge n } - (2p-1) \leq b - (2p-1) \end{eqnarray}$ Aber wie hab ich die Möglichkeit einen Zsmhang zu $\begin{eqnarray} \tau_b \end{eqnarray}$ zu schließen ? Den Ausdruck allein krieg ich dadurch nicht :\| b) Bei der b hätte ich $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \mathbb E[\tau_{b \wedge n} ] = \mathbb E[\tau_{b } ] \end{eqnarray}$ Bräuchte dazu aber die a.. Würde mich sehr über Hilfe freuen ! Liebe Grüße
15.07.2018, 01:13	TauTime	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Martingale und Stoppzeiten Oh etwas chaotisch geworden..hoffe dass man es dennoch versteht

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