Randwertproblem DGL

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Randwertproblem DGL
Hallo alle zusammen Wink

ich sitze wieder an einer Aufgabe mit DGL. Ich habe sie auch mehr oder weniger gelöst, bin aber mit dem Ergebnis nicht zufrieden, allerdings finde ich einen möglichen Fehler nicht.

Die Aufgabe lautet so:

Wie viele Lösungen besitzt das Randwertproblem


, ?

Die Nullstellen des quarakteristischen Polynoms sind:

und


Somit ergibt sich:


Nun setze ich die Randwerte ein und ermittleund =




und



Durch vereinfachen ergibt sich:



Womit aber wegfällt und 0=2 (unwahr) zu keiner Lösung führen würde.
Somit hätte die DGL (das Randwertproblem) keine Lösung.

Könnte mir das bitte jemand bestätigen oder mir kurz den Hinweis geben an welcher Stelle, mein Fehler liegt?

Ich danke euch für eure Hilfe und wünsche euch einen schönen sonnigen Restsonntag :-)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas mehr Überlegung beim Einsetzen der Randwerte wäre sinnvoller gewesen, wo die Winkel doch so angenehm sind.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede Lösung



des allgemeinen Problems gilt



Die Vorgaben und vertragen sich daher nicht.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Um überhaupt ein lineares Eigenwerproblem zu bekommen, muss man zuerst die 2.Randbedingung homogenisieren. Man muss also erreichen, dass darin auf der rechten Seite eine Null steht. Das geschieht durch folgende Substitution, die uns anstelle der alten Funktion y(x) eine neue Unbekannte z(x) liefert



Setzt man dies in die beiden "alten" Randbedingungen und ein, entstehen für die neue Funktion z(x) in der Tat folgende homogenen Randbedingungen:




Setzt man die obige Substitution in ursprünglich homogene Differenzialgleichung ein, so wandelt sich diese zu folgender inhomogenen Gleichung für z(x).



Das Intervall ist ungünstig, weil es die Rechnung erschwert. Die Sache wird einfacher, wenn man das Intervall hätte. Diese Intervalländerung erreicht man durch folgende (zweite) Substitution, indem man anstellle des Argumentes x das neue Argument t einführt

oder umgestellt

In der Tat wird dadurch aus dem alten Intevall das neue Intervall . Natürlich muss auch die Differenzialgleichung transformiert werden mit der Substitution



Die 1.Ableitung transformiert sich wie folgt



Folglich lautet die 2.Ableitung



Setzt man diese 2.Ableitung und die obige Substitution z(x)=f(t) in die Diffenzialgleichung ein, ergibt sich



Das zugehörige Eigenwertproblem lautet also



Die transformierten Randbedingungen lauten wie gesat




Damit haben wir ein sehr einfaches Eigenwertproblem, dessen Lösung wohlbekannt ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ehos

Ich verstehe nicht, was du mit deinen Transformationen erreichen willst.

Zitat:
Original von Ehos


Gut, wir haben nun



Die homogene Gleichung besitzt die linear unabhängigen Lösungen und , die inhomogene Gleichung die Lösung . Mit Konstanten ist somit



die allgemeine Lösung des transformierten Problems. Jetzt haben wir aber denselben Umstand, daß sich die Bedingungen und nicht vertragen. Davon habe ich aber schon in meinem Beitrag gesprochen. Ich kann nicht erkennen, wie deine Transformationen etwas vereinfachen.

Zitat:
Original von Ehos


Verstehe ich nicht.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold

Allgemein bestimmt man bei der Lösung eines Sturm-Liouvilleches Randwertproblems zuerst die Eigenwerte und Eigenfunktionen , um daraus die gesuchte Lösung y als Linearkompination zu bilden. Diese allgemeine Methode funktioniert aber nur, wenn das Problem linear ist. Das ist hier nicht der Fall, denn die zweite Randbedingung ist nichtlinear.

Hat man nämlich zwei Eigenfunktionen , , welche die Differenzialgleichung sowie die erste und zweite Randbedingung erfüllen, also und , so erfüllt deren Summe die Randbedingung nicht mehr, denn . Die allgemeine Methode der Reihenentwicklung ist also gar nicht anwendbar. Aus diesem Grunde müssen die Randbedingungen stets homogensiert werden, was ich durch meine Substitution erreicht habe. Danach macht es überhaupt erst Sinn von "Eigenwerten" und "Eigenfunktionen" im Sinne einer linearen Theorie zu sprechen.

Durch die Homogenisierung der Randbedingung wird die Differenzialgleichung, welche vorher homogen war, inhomogen. Man "wälzt" also die Inhomogenität von der Randbedingung auf die Differenzialgleichung ab. Das ist aber aus mathematischer Sicht kein Nachtteil. Im Gegenteil: Nun wird die Fourriersche Methode der Reihenentwicklung überhaupt erst möglich.
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja alles schön und gut, aber noch mal: Was ändert das daran, dass das gegebene Randwertproblem keine Lösung hat?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy

LEOPOLD weist rechnereisch nach, dass das gegebene Problem keine Eigenwerte hat. Diese Rechnung mag formal richtig sein.

Das Missverständnis besteht darin, dass das vorliegende Problem nichtlinear ist. Deshalb ist es unzulässig (zumindest unüblich), von "Eigenwerten" zu sprechen. Dieser Begriff ist nämlich für lineare Operatoren reserviert (z.B. für Matrizen). Ihr sucht also nach Phantom-Eigenwerten, die es nicht gibt.

Nach der der Linearisierung (also nach der Transformation) besitzt das Randwertproblem sehr wohl Eigenwerte und Eigenfunktionen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos
Es geht nicht um Eigenwerte, sondern um Lösungen des Randwertproblems. Eigenwerte sind nur ein Hilsmittel bei der Lösungssuche. Und dieses Randwertproblem hat keine Lösung. Da helfen auch keine Transformationen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe mir die Sache nochmals an und melde mich später.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ehos

Irgendwie hast du dich vergaloppiert. Das Ganze erinnert mich an jemanden, der die reellen Lösungen der Gleichung bestimmen soll und sagt: erst einmal ausmultiplizieren und ordnen:



dann substituieren:



dann mit der Lösungsformel die -Lösungen bestimmen:



dann resubstituieren:



um schließlich festzustellen: Die Gleichung ist unlösbar.

Sicher ein richtiger Lösungsweg, aber auch einer, wo ein Problem in einen Schematismus gepreßt wird, mit dem man gut vertraut ist, der auch funktioniert, und wo man dennoch sagen muß: wozu das alles!
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold, @Huggy

Stimmt, ich habe ein einfaches Problem in ein kompliziertes verwandelt, was unnötig war. Trotzdem beschreibe ich nochmal kurz meinen Gedankengang: Durch eine Tranformation hatte ich das gegebene Randwertproblem in folgendes äquivalente inhomogene Randwertproblem umgewandet



Darin treten der Differenzialoperator und die Inhomogenität auf. Die neuen Randbedingugen waren nunmehr homogen und lauten




Nach der allgemeinen Theorie kann man die formale Lösung als Fourrierreihe schreiben (unter gewissen Vorraussetzungen):



Darin sind , die Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen des Operators D und sind Skalarprodukte. Wie die Rechnung zeigt, existiert diese Fourrierreihe jedoch nicht, weil für den ersten Eigenwert gilt , was verboten ist. Somit komme ich mit viel Aufwand auf das gleiche Ergebnis wie ihr, wie es sein muss.
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