Eigenschaften Grad

15.07.2018, 18:47

Sophie.

Eigenschaften Grad

Meine Frage:
Hallo,
ich habe mir gerade die Eigenschaften des Grades angeguckt. Die erste ist:
Grad (f * g) = Grad (f) + Grad(g)
Die habe ich auch dank eines Beispiels verstanden.
Nun aber zur zweiten Eigenschaft:
Grad (f+g) = Max (Grad f, Grad G)
Kann mir die vielleicht jemand mit einem Beispiel erklären?
Ich hatte zu der zweiten Eigenschaft im Internet gefunden:
Grad ((A^7)*(C^2) + 3(A^3)*(B^3) - A*(B^4)*C + 5*B*C)
= Grad ((A^7)*C^2)

Ich habe wirklich gar keine Idee wie ich da drauf komme. Der Grad ist ja der höchste Exponent. Deswegen auch A^7 und C^2 rausgesucht, aber wieso fehlt das Y??
Liebe Grüße
sophie

Meine Ideen:
Steht oben smile

15.07.2018, 21:04

10001000Nick1

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Beide Aussagen sind (zumindest ohne weitere Voraussetzungen) falsch.

Falls $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein nullteilerfreier Ring ist und $\begin{eqnarray*} f,g\in R[X] \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(f\cdot g)=\operatorname{grad}(f)+\operatorname{grad}(g) \end{eqnarray*}$ .
(In einem Ring mit Nullteilern gilt im Allgemeinen nur " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ".)

Für deine zweite Gleichung kann man in jedem Ring, der nicht der Nullring ist, Gegenbeispiele finden. Im Allgemeinen gilt nur $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(f+g)\leq \max(\operatorname{grad}(f), \operatorname{grad}(g)) \end{eqnarray*}$ .
(Z.B. für $\begin{eqnarray*} f=X^2+X+1, g=-X^2+2X+5\in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(f)=\operatorname{grad}(g)=2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(f+g)=1 \end{eqnarray*}$ .)
Was du mit deinem Beispiel sagen willst, verstehe ich nicht. Was sollen A, B und C sein; und woher kommt plötzlich das Y?

16.07.2018, 09:23

Sophie.

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Zu deinem Beispiel: wieso wäre der grad (f+g) = 1 ??
Mir ist klar das der Grad von f und g 2 ist, aber wie komme ich auf die 1?
Müsste das nach der Formel dann nicht (2,1) sein?

Zu meinem Beispiel: das hatte ich im Internet gefunden, dass Y sollte ein B sein, das war ein Schreibfehler.

16.07.2018, 11:22

10001000Nick1

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Rechne doch einfach das Polynom $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ aus. (2,1) kann schon deswegen nicht der Grad sein, weil der Grad eine nichtnegative ganze Zahl (oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) ist; kein Tupel von natürlichen Zahlen.

Ok, das in deinem Beispiel soll anscheinend ein Polynom in mehreren Veränderlichen $\begin{eqnarray*} A, B, C \end{eqnarray*}$ sein.
Ich benutze hier der Einfachheut halber die Unbekannten $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ : Der Grad eines Monoms $\begin{eqnarray*} a\cdot X_1^{m_1}X_2^{m_2}\cdots X_n^{m_n}\in R[X_1, \dots, X_n] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} m_1+\cdots+m_n \end{eqnarray*}$ .
Jedes Polynom in $\begin{eqnarray*} R[X_1, \dots, X_n] \end{eqnarray*}$ ist die Summe solcher Monome. Der Grad eines Polynoms ist dann der maximale Grad der Monome in dieser Summe.

Zurück zu deinem Beispiel: In dem Polynom $\begin{eqnarray*} A^7C^2+ 3A^3B^3 - AB^4C +5BC \end{eqnarray*}$ haben die vier Monome den Grad 9, 6, 5 und 2; $\begin{eqnarray*} A^7C^2 \end{eqnarray*}$ hat also den maximalen Monomgrad.

16.07.2018, 17:18

Leopold

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RE: Eigenschaften Grad

Zitat:

Original von Sophie.
Nun aber zur zweiten Eigenschaft:
Grad (f+g) = Max (Grad f, Grad G)

Ich kenne das als

$\begin{align*} \operatorname{grad}(f+g) \leq \max \left\{ \operatorname{grad} f , \operatorname{grad} g \right\} \end{align*}$

Es können sich ja beim Addieren Glieder gegenseitig wegheben, daher das $\begin{align*} \leq \end{align*}$ .

17.07.2018, 09:42

10001000Nick1

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Für deine zweite Gleichung kann man in jedem Ring, der nicht der Nullring ist, Gegenbeispiele finden. Im Allgemeinen gilt nur $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(f+g)\leq \max(\operatorname{grad}(f), \operatorname{grad}(g)) \end{eqnarray*}$ .

Sag ich doch. Augenzwinkern

17.07.2018, 14:38

Sophie.

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Nochmal zu dem Beispiel von 10001000Nick1
Wie kann ich das Polynom (f+g) einfach ausrechnen?
Ich weiß einfach nicht wie ich auf die -1 komme. unglücklich

17.07.2018, 14:51

10001000Nick1

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Wo ist denn das Problem, $\begin{eqnarray*} f+g=X^2+X+1-X^2+2X+5 \end{eqnarray*}$ zusammenzufassen? verwirrt

17.07.2018, 15:01

Sophie.

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Oh danke, ich stand komplett auf der Leitung.
Okay dann verstehe ich wie du auf die 1 kommst.
Vielen vielen Dank nochmal.

17.07.2018, 22:09

Leopold

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Sag ich doch. Augenzwinkern

Ja, tust du. Und auf deinen Einwand hin habe ich deinen ersten Beitrag noch einmal durchgelesen und - - - die Formel wieder nicht gefunden. Erst beim dritten Lesen sah ich sie. Was da manchmal psychologisch abläuft ... Jedenfalls mußte ich wieder an diese Geschichte denken.

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