Fast sichere Konvergenz Borel

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BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Konvergenz Borel
Meine Frage:
Ich hab da eine Verständnisfrage.

für epsilon > 0 und einer Zufallsvariable Z_n gilt



Meine Ideen:
Offensichtlich geht es um das Lemma von Borel.
Da Z_n > (1-epsilon)/lambda für unendlich viele n , kann man ja annehmen dass Z_n>(1-epsilon)/lambda P f.s

Kann ich dann einfach davon ausgehen , dass epsilon aus (0,1) ist und somit direkt die Aussage folgt ?

Danke und LG!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BorelCantelli
Daraus soll gefolgert werden,dass
P-f.s.

Das ist ganz gewiss falsch, Gegenbeispiele sind leicht anzugeben. Womöglich meinst du

P-f.s.


Außerdem ist die Vorrede

Zitat:
Original von BorelCantelli
für epsilon > 0 und einer Zufallsvariable Z_n gilt

ziemlich missverständlich, gemeint ist wohl eher

Zitat:

für alle (!) und Zufallsvariablen gilt
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber lade ich mal die genaue Aufgabe hoch :
[attach]47688[/attach]
Ich dachte, dass es ein Schreibfehler sein muss, statt "für endlich viele" müsste da auch unendlich viele n stehen oder nicht ?
Weil ich darauf kam und mit borel:

[attach]47690[/attach]
[attach]47689[/attach]
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Im ersten Teil soll es natürlich " Somit konv. Zn stochastisch und damit auch schwach.." heißen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe jetzt keinen neuen Erkenntnisse, die für sprechen, sondern nur welche, die tatsächlich auf zusteuern.
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann nehme ich an , dass das auch ein Fehler sein muss.
Ist : lim sup Z_n = 1/lambda gleichbedeutend mit


P [ |Z_n - 1/lambda | > epsilon für unendliche viele n ] = 0
?
 
 
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Und konvergiert Z_n P f.s ?

Es ist ja Z_n > (1-epsilon)/lambda P f.s und das kann maximal 1/lambda sein .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wenn man genau arbeitet, dann gilt folgendes: Für festes reelles betrachte man die drei Ereignisse

...

... für unendlich viele

... .

Genaues Nachdenken über die Definition des limsup führt zur Einschachtelung und entsprechend dann .


Für nutzen wir den ersten Teil , denn aus dem gegebenen folgt dann , also .

Für nutzen wir aber den zweiten Teil , denn aus dem gegebenen folgt dann , also bzw. im Komplement .

Beides zusammen ergibt tatsächlich

,

und dann kann man ja "umlabeln" . Augenzwinkern
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir !
Ist mein Aufschrieb was a) angeht eigentlich richtig ? Sprich stochastidche Konvergenz gg null etc ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus für alle folgt unmittelbar , und das ist gleichbedeutend mit P-f.s.
Borelcantelli Auf diesen Beitrag antworten »

d.h da der limes eindeutig ist , kann es garnicht sein dass es gegen null geht ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der limsup nicht, aber der liminf in deinem Beispiel ganz sicher. Augenzwinkern
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die ganze Fragerei..Aber wenn beispielsweise bei der a) explizit nach "Konvergenz" gefragt ist, und ich das dann so mache wie in meinem Aufschrieb ,hätte ich dazu schreiben sollen dass es der lim inf ist ?
Was ich nicht verstehe, wenn es einerseits stochastisch gegen null geht ,dann muss es doch auch für den Fall dass es fast sicher konvergiert , auch gegen null gehen und nicht gegen 1/lambda verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BorelCantelli
dann muss es doch auch für den Fall dass es fast sicher konvergiert , auch gegen null gehen und nicht gegen 1/lambda verwirrt

Ist ja auch so - nur: Was hat das mit der Folge hier zu tun? Die konvergiert nicht fast sicher.

Obwohl schon mehrfach drauf hingewiesen, hast du anscheinend immer noch nicht drüber nachgedacht, dass es einen Unterschied zwischen lim / limsup / liminf gibt.
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt hab ich es glaub endgültig verstanden Big Laugh
Es kann garnicht P.f-s konvergieren,weil der lim inf und lim sup unterschiedlich sind !
Lim inf geht gg null , lim sup gegen 1/lambda
Somit kann es nicht P.s fs konvergieren Lehrer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
BorelCantelli Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Ich bin gerade am üben und hoffe du kannst mir weiterhelfen..
Folgende Aufgabe:
[attach]47699[/attach]

Obwohl die a) so einfach aussieht und es auch schnell gehen muss, komme ich einfach nicht drauf :/
[attach]47700[/attach]
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