Induktionsbeweis |
| 16.07.2018, 16:58 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Induktionsbeweis |
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| 18.07.2018, 23:56 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Induktionsbeweis Niemand? |
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| 20.07.2018, 08:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tautologie ist ein semantischer Begriff, Beweis ist ein syntaktischer Begriff. Man soll beide Begriffe unterscheiden. |
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| 20.07.2018, 16:40 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tue ich das nicht? Dem direkten Beweis ((p->q & q) -> q), dem Kontrapositionsbeweis ((p -> q & ~q) -> ~p) und dem Widerspruchsbeweis ((~p -> (q & ~q)) -> p) liegen (semantische) Tautologien zugrunde. Das ist auch richtig und wichtig, denn nur wenn die Ableitungen in einem Kalkül (Beweis) zugleich semantische Tautologien sind, ist der Beweis korrekt. Beim Induktionsbeweis sehe ich so eine Tautologie nicht zugrundeliegen, es muss sie aber geben, jedenfalls das Induktionsaxiom allein ist es nicht, das ist keine Tautologie. Woraus ergibt sie sich dann aber? |
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| 20.07.2018, 18:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wiki: "Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind." Ich sehe das geringfügig anders: Das Induktionsaxiom ist ein Axiom. Also bewiesen. Also wahr. |
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| 22.07.2018, 18:31 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist damit aber nicht der Induktionsbeweis ein "Beweis zweiter Klasse"? Denn die anderen Beweise sind korrekt völlig unabhängig wer was axiomatisiert, weil sie auf Tautologien beruhen, während der Induktionsbeweis steht und fällt mit seinem Axiom (und das kann fallen, wenn es sich als widersprüchlich herausstellte). |
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| 22.07.2018, 19:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Wiki hat im Grundsatz recht. Ich habe recht. Ein Satz ist genau dann bewiesen, wenn er ein Axiom ist oder aus Axiomen ableitbar ist. Die Satzaussage ist dann wahr. Du irrst dich. Eine Tautologie ist eine wahre Aussage (Semantik). Ein Beweis ist eine logische Folgerung (Syntax). |
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| 23.07.2018, 00:22 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bezweifle ich nicht. Nur: Der Induktionsbeweis hängt von der Konsistenz und Gültigkeit des Induktionsaxioms ab. Die anderen Beweisarten brauchen kein spezielles Axiom, sie gelten bereits per se. Sind sie dadurch nicht - metatheoretisch gesprochen - besser, weil simpler und allgemeiner (ockham's razor)? So wäre zB in IN ein Widerspruchsbeweis dem Induktionsbeweis vorzuziehen, weil seine bewiesene Aussage allgemeiner ist; sie braucht kein Induktionsaxiom. Oder spielt sowas keine Rolle für Mathematiker? |
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| 23.07.2018, 07:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unfug. Jeder Beweis beruht auf Axiomen und Logik. |
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| 23.07.2018, 13:49 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In intuitionistischer Logik gilt LEM nicht. |
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| 23.07.2018, 14:04 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@42: Wenn im Intuitionismus LEM nicht gilt, dann ist dort "~p -> (q & ~q) -> p" (Widerspruchsbeweis) also keine Tautologie mehr? Ich dachte immer Tautologien sind immer wahr, no matter what, was also falsch wäre. Tautologen gäbe es immer nur relativ zu einem Axiomensystem, richtig? |
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| 23.07.2018, 14:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Tautologie ist in einer Logik immer wahr. Axiome braucht man in einer Logik nicht. Logik befasst sich mit Aussagen und Wahrheit (Semantik). Mathematik befasst sich mit Axiomen und Beweisen (Syntax). |
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