Extrem komplizierte Summe |
16.07.2018, 18:27 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Extrem komplizierte Summe Hallo allerseits, Es geht um die folgende Summe: Sigma(i=1;n=infinit) a (b / Wurzel (1 - c/(dn^2+c))^3 Ich weiss dass Sigma(i=1;n=infinit) 1/n^2 = pi^2/6 Aber das hilft hier reichlich wenig. (Leider funktioniert der Formeleditor bei mir nicht!) Meine Ideen: Eine Freundin hat die folgende Umformung vorgeschlagen: Sigma(i=1;n=infinit) P (1 + K 1/n^2)^(3/2) Allerdings hat sie mir nicht gesagt wie sie das hergeleitet hat, oder wie die Faktoren P und K aus den ursprünglichen Faktoren a, b, c und d zu berechnen sind. |
||||||||||||||||||||
16.07.2018, 20:23 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Geht es tatsächlich um Die Summanden der Reihe bilden keine Nullfolge. Bitte Fehler ausbessern. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 00:07 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Bis zum 2 * 10^37sten Term Achso, ja das ist normal. Physikalisch gesehen bedeutet ja ein größerer Wert für n, dass die Elementarräume größer sind (überlappende 2-Sphären), und das führt natürlich zu mehr Verbindungen von einem Elementarraum zu anderen. Die Anzahl dieser Verbindungen ist was hier ausgerechnet wird. Das sieht man hier natürlich nicht, weil ich alle Physikalischen Konstanten in diese vier Faktoren a, b, c und d reingepackt hab. Also, dass die Summe nicht konvergiert, hätte mir eigentlich klar sein sollen. Wurde wohl von diesem 1/n^2 verleitet und hab für einen Moment den physikalischen Hintergrund aus den Augen verloren. Also, ich brauche diese Summe bis zum 2 * 10^37sten Term. Bei 1/n zum Beispiel wäre das Ergebnis In(2*10^37) + gamma (Korrekturterm von etwa 0.5). Wie das bei diesem Monstrum von Gleichung da oben zu berechnen ist, ist mir allerdings ein Rätsel. Das Ergebnis dass ich so erwarte liegt so zwischen 10^68 und 10^70. EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit) |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 07:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ok, also es geht um Partialsummen für oder ähnlich exorbitant hohe . Es wäre noch interessant zu erfahren, in welchen Bereichen so zu finden ist: Ich nehme mal an, und sofern nicht allzu klein ist (in Relation zur Summandenzahl ), dann wird man für derart große schlicht erhalten. Grund dafür ist , und die Reihe über den Restterm (also außer die 1) ist konvergent. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 11:41 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
RE: Bis zum 2 * 10^37sten Term Ich habe mich gestern nacht etwas verschrieben, und dann hatte ich kein Internet mehr um mich zu korrigieren:
n zählt wieviel Plancklängen lang die Wellenlänge ist. Ein größerer Wert für n bedeutet eine größere Wellenlänge, weniger Energie, und somit auch KLEINERE Elementarräume. Sobald der Elementarraum kleiner ist als die Plancklänge, kann er ignoriert werden (zumindest wenn es darum geht die Struktur des Raumes zu analysieren). Der Term unter der Wurzel gibt die Teilchengeschwindigkeit über die Wellenlänge an, so dass die Geschwindigkeit quantisiert ist, und nichtmehr jeder beliebige Wert erlaubt ist. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 11:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
RE: Bis zum 2 * 10^37sten Term
Ich hab (zuwenig physikalischen Sachverstand und deshalb) keine Ahnung, wovon du da redest, aber vielleicht kannst du das ja in Hinblick auf meine Nachfrage
übersetzen. |
||||||||||||||||||||
Anzeige | ||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 12:09 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
RE: Bis zum 2 * 10^37sten Term EDIT: Komplettzitat entfernt (Steffen) Dazu wäre ich ja noch gekommen ... Also a = 8.280023422×10^118 (ein großer Haufen Konstanten) b = m_e = etwa 10^-31 (Masse des Elektrons) c = h^2 = etwa 10^-68 (Plancksche Konstante hoch 2) d = Plancklänge (10^-35), Elektronenmasse (10^-31) und Lichtgeschwindigkeit (10^8), alles hoch 2, was etwa 10^-116 ergibt. d/c wäre dann etwa 10^-124. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 12:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Das hatte ich fast befürchtet, das sind die erwähnten "allzu kleinen" Werte für . Damit ist es natürlich Essig mit dem Summenwert . Allerdings kann man damit dann in einer anderen Richtung abschätzen: Selbst für ist ja dann immer noch , womit wir haben, es folgt mit . Der Löwenanteil davon, nämlich ca. wird bereits mit dem ersten Summanden erreicht. Da diese Abschätzung vermeintlich (!) gar nicht von abhängt, könnte man fast meinen, die Reihe konvergiert für . Das ist aber ein Trugschluss: Die Abschätzung hier basierte auf für die Summanden, während das hier
letztlich für interessant wird, in deinem Fall dann also . D.h., "hinten raus" erkennt man dann doch die Divergenz der Reihe. EDIT: Ich hatte mich auf dein
verlassen, aber wenn ich mir das
so anschaue, dann ist es ja eher . Was die Sache wieder auf den Kopf stellt, denn dann ist ja doch am Ende der Summation... EDIT2: ... aber da auch da ist, spielt es am Ende dann doch nicht so die Rolle. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 18:29 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Jo, es fängt mit ganz winzigen Werten an. Bei diesen riesigen Exponalzahlen ist auch nicht gegeben, dass sich die Reihe früh genug an 1 annährt, so dass man dann einfach m nehmen könnte. Kann man offensichtlich nicht.
Interessante Methode.
Hm ... wobei der erste Term ziemlich exotisch ist. Es wäre ein Elektron mit einer Massenenergie die der Planck-Masse gleich kommt.
Naja, aber d ist ja 10^-116 (also 10^-70 * 10^-62 * 10^16) und d' ist 10^-124. Und n = 2*10^37 ist ja nicht genug um diesen Term über 1 zu bringen. Er ist also in jedem Fall winzig.
Du hast das "alles hoch 2" überlesen.
Dieser Korrekturterm zeta, ist der so ähnlich wie gamma (0.5 ...)? |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 19:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Eigentlich nicht, bei mir ist immer noch , so wie es aussieht gehen da ja schon diese quadrierten Bestandteile ein. Allerdings hast du eine so besch...en missverständliche Darstellung von c,d geboten - kannst du das nicht mal ordentlich aufschreiben? An fehlenden LaTeX-Kenntnissen scheint es ja nicht zu liegen. Mit meine ich natürlich die Riemannsche Zetafunktion, was denn sonst bei dieser Summe/Reihe. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 20:22 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Hallo HAL, Ich danke dir erstmal vielmals für deine Lösung! Da d ja recht klein ist, sollte die ja funktionieren.
a = 8.280023422×10^118 b = 9,109 383 56(11)×10−31 c = 4.390480418×10−67 d = 1.205375558×10−115
Ja, gut, hab es normalerweise mit harmloseren Summen zu tun. Dafür gibt es ja Matheprofis wie dich. |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 20:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Und wie kommst du damit auf ??? |
||||||||||||||||||||
17.07.2018, 22:45 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
EDIT: Komplettzitat entfernt (Steffen) Oh, sorry ... da hab ich mir selber eine Falle gestellt ... ich hab c, was ja hier für h^2 steht, mit c, der Lichtgeschwindigkeit verwechselt ... peinlich peinlich ... Als ich das schon hingeschrieben hab, hab ich schon gedacht dass das "c" extrem irreführend ist .. hatte dann schon überlegt lieber Großbuchstaben zu nehmen, aber das hab ich dann doch nicht gemacht. Jetzt hab ich den Salat. Also, d/c ist d/h^2, und das ist dann 10^-47 ... ja, sorry. Hätten wir chinesische Zeichen statt Buchstaben für die verschiedenen Konstanten würde das nicht passieren. |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 07:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Extrem lange Leitung, dass du drei Beiträge brauchst, um diesen (was die Größenordnung betrifft) katastrophalen Rechenfehler endlich zu akzeptieren - stattdessen erstmal unangebrachte Schuldzuweisungen wie "du hast das hoch 2 überlesen". |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 13:38 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Entschuldigung EDIT: Komplettzitat entfernt (Steffen) Entschuldige vielmals ... ich war nicht ganz bei der Sache ... Ich hoffe dir ist die Lust nicht vergangen .. Die Formeln die du so angeführt hast, da kommt "m" nirgends drin vor. Heißt das, der Wert von Sigma ist unabhängig von m? |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 13:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ich hab mich dazu eigentlich klar geäußert - wäre nett, wenn du wirklich mal alles lesen würdest:
|
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 14:20 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Das heißt, die Lösung ist: a * b^3 * (1.2 * 10^72). Vielen vielen Dank! |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 14:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Naja, deutlich genauer wäre , denn dein war ja nun auch nicht exakt . |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 14:27 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ah, cool, vielen Dank, Hal! Du warst eine enorme Hilfe. Ich werd das dann heute abend entsprechend durchrechnen um zu schauen was dann insgesamt rauskommt! Darf man deinen echten Namen erfahren? |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 20:19 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Exakter Wert von Zeta(3) Zeta(2) ist ja durch pi^2/6 gegeben, durch was ist Zeta(3) gegeben? Du hast zwar gesagt, dass es 1.2 ist, aber das bräuchte ich dann doch noch genauer. |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 20:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Sieh doch selber nach https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion Du bist dir aber schon im klaren, dass die Summe nicht exakt dieser Wert ist, sondern auch nur genähert (s.o.) ? |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 21:14 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Jo, hab ich dann auch gemacht, nachdem ich gefragt hatte. Da hab ich dann das hier gefunden: https://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry%27s_constant Da steht dann auch der exakte Wert drin, allerdings keine kompakte Formel mit der man den ausrechnen kann.
Hm, ja, ist nur die Frage ob diese Näherung für meine Zwecke genau genug ist (werd ich nachher sehen). Meinst du es lässt sich noch eine exaktere Lösung finden? |
||||||||||||||||||||
18.07.2018, 22:29 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Also deine Methode scheint ja darauf zu beruhen, dass d'n^2 sehr klein ist, also kleiner als 1. Allerdings ist der Maximalwert von n^2 ja 6.25*10^74 und wenn man das mit d' multipliziert (entspricht etwa 10^-47), ist das ja weit über 1, nämlich etwa 10^26. Ich hab nicht ganz verstanden warum das nicht so schlimm sein soll. Müsste man dann nicht irgendwie beide Methoden miteinander kombinieren? |
||||||||||||||||||||
19.07.2018, 06:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Wirklich mitdenken tust du nicht, also nochmal: Für große mit haben wir
also pro Summand ungefähr Wert 1. Meinst du, dass bei Summandenanzahl dieser Anteil von dann ebenfalls ungefähr gemessen an der Gesamtsumme dann noch wesentlich ins Gewicht fällt? Hatte ich oben doch schon gesagt:
Es nervt wirklich, alles zwei- oder dreimal erzählen zu müssen.
Das ist also lange geschehen ... wieder die lange Leitung. |
||||||||||||||||||||
19.07.2018, 12:18 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Durchgerechnet Also ich hab das ganze gestern abend mal durchgerechnet. Meine Werte waren: a = 8.280023422 * 10^118 b^3 = 7.559045627 * 10^-91 a b^3 = 6.258907484 * 10^28 d' = 6.498373588 * 10^-122 d'^-3/2 = 6.498373588 * 10^183 Zeta(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292 Und das Ergebnis war: 4.889092274 * 10^212 Leider viel zu groß. Das bestätigt meine Vermutung, dass es eine Obergrenze für die Energie von Vakuumfluktuationen gibt, die weit unter der Planck Energie liegt. Der einzige Kandidat für so eine Obergrenze ist die kritische Energie bei der der Elementarraum größer wird als die Wellenlänge. Das wären 8.862 * 10^-17 m, was 5.483132598 * 10^18 Plancklängen entspricht. Das heißt ein neue Berechnung sollte bei n = 10^18 ansetzen und bis n = 10^37 gehen. |
||||||||||||||||||||
20.07.2018, 14:54 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Na, das hab ich ja schon verstanden.
Ja, gut, das hatte ich schon verstanden und wollte es halt nochmal bestätigt haben. Kommunikation kann halt auch nicht immer perfekt sein. Tut mir leid wenn ich dich aufgeregt habe. Naja, jetzt hat sich jedenfalls die Problemstellung geändert. Statt von n=1 bis n=2*10^37 brauche ich jetzt n=5.483132598 * 10^18 bis n=2*10^37. Brauche also einen Integral, statt einer unendlichen Summe. Hast du eine Idee wie das anzustellen ist? Danke schonmal im Vorraus, und auch für die bisherige Hilfe! |
||||||||||||||||||||
20.07.2018, 15:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Dieses "also" erschließt sich mir nicht. Mag sein, dass diese Summe durch ein Integral approximierbar ist. |
||||||||||||||||||||
23.07.2018, 10:08 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Wie gehe ich jetzt vor?
Ok. Hm, und wie mache ich das jetzt? Bis zu n=10^23 ist d'n^2 ja noch unter 1. Weiss nicht ob das hilft. Mit was für einem Integral könnte man das approximieren? |
||||||||||||||||||||
23.07.2018, 11:01 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ok, rekapitulieren wir es nochmal: Es ist , wobei der Fehler für "kleine n" (also ) vernachlässigbar ist. Für große n (also ) haben wir hingegen die einfache Abschätzung , insgesamt ist also auf jeden Fall Nun ist dein sowie dein , also müssen wir die Summe da teilen: . Jetzt musst du anhand deiner Werte schauen, welcher der beiden Anteile "dominant" für die Gesamtsumme ist. |
||||||||||||||||||||
23.07.2018, 14:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
@LAMHOU
Ich habe mal versucht, diesen Wert, den ich als interpretiere, zu verifizieren. Das ist mir nicht gelungen. Du schriebst:
Mit komme ich auf Bildet man mit anstatt mit ergibt sich bei mir Kannst du das mal aufklären. Das mag keine große Bedeutung haben, aber mit korrekten Zahlen ist man immer auf der sicheren Seite. |
||||||||||||||||||||
24.07.2018, 19:05 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ja, das ist mir vorgestern auch aufgefallen. Hab es dann auf 1.948163391*10^-113 korrigiert (gleiche Ergebnis wie bei dir). Bei solchen Zahlen kann man auf dem Taschenrechner halt nicht genau rechnen. Ich geb dann alle Zahlen kleiner in den Taschenrechner ein, und schau um wieviel Größenordnungen ich neben dem liege was ich erhalte wenn ich nur die Hochzahlen addiere und subtrahiere. Da hab ich dann halt gesehen dass das Ergebnis um drei Größenordnungen größer ist und 10^116 dann entsprechend in 10^113 umgewandelt. Es ist aber auf jeden Fall h und nicht h_quer. Danke für's mitrechnen! |
||||||||||||||||||||
24.07.2018, 19:17 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Sollte nicht auf beiden Seiten "max" stehen?
Jemand meinte dass uns das doch nur eine Untergrenze für das eigentliche Ergebnis liefern sollte ... weiss nicht ob dem so ist.
n_1 (also etwa 10^18) setze ich hier ein:
Und schaue ob das größer ist als n_2? Hab ich das richtig verstanden? Danke nochmal im vorraus! |
||||||||||||||||||||
24.07.2018, 19:29 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Und du meinst, ich habe extra nach dem Copy+Paste das in ein umgewandelt, damit es auch garantiert falsch wird? ist eine monoton fallende Funktion! |
||||||||||||||||||||
25.07.2018, 11:22 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Hab ich eigentlich nicht gemeint .. meinte eine Freundin. Ich hab es eigentlich für sehr unwahrscheinlich gehalten, dass du dich verschrieben hast. Eines wundert mich jedoch: Auf beiden Seiten steht ein Summenzeichen mit n_1 unten, und dennnoch sind da unterschiedliche Maxima links und rechts ... |
||||||||||||||||||||
28.07.2018, 13:58 | LAMHOU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||||
Ok, also ich hab mir gestern alles nochmal in Ruhe angeschaut und dann die Berechnung gemacht. N_1 führt zu einem Gesamtergebnis von etwa 10^60 und N_2 zu etwa 10^66. Das ist recht befriedigend, da beide unter dem Anfangs von mir erwähnten Erwartungswert von 10^70 liegen. Jetzt muss ich das ganze noch für Photonen machen, was um einiges leichter sein dürfte. Berücksichtigung aller Teilchenarten sollte dann am Ende zu einem Gesamtwert von 10^70 führen (Anzahl an Verbindungen zwischen Elementarräumen. Ich danke dir vielmals Hal, für deine Hilfe. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|