Selbstinverse Elemente in GF(3)

18.07.2018, 16:44

eroy

Selbstinverse Elemente in GF(3)

Liebe Leute,

irgendwie stehe ich gerade voll auf dem Schlauch. Es steht überall, dass es in einem Körper zwei selbstinverse Elemente gibt --> 1 und -1 bzw. 1, wenn p = 2.
Was ist z.B. mit GF(3) oder GF(5)? 2 in GF(3) und 4 in GF(5) sind doch invers zu sich selbst, oder etwa nicht? Irgedwie komme ich hier gar nicht weiter.. :-(

Danke für eure Hilfe!

18.07.2018, 17:50

Guppi12

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Hallo,

da $\begin{eqnarray*} 2+1 = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} GF(3) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2 = -1 \end{eqnarray*}$ per Definition. Genauso sieht es mit deinem anderen Beispiel aus.

18.07.2018, 17:59

eroy

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Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

da $\begin{eqnarray*} 2+1 = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} GF(3) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2 = -1 \end{eqnarray*}$ per Definition. Genauso sieht es mit deinem anderen Beispiel aus.

Oh Mann, ich bin blöd.
Danke!!

19.07.2018, 10:45

Elvis

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Vielleicht sollte man noch hinzufügen, dass über einem beliebigen Körper jede quadratische Gleichung genau 2 Lösungen hat. Die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ hat wegen $\begin{eqnarray*} x^2-1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen -1 und 1, beide müssen im Körper liegen, weil -1 das additive Inverse von 1 ist. Für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p^n-1+1=p^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p^n-1\equiv -1\mod p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \overline {p^n-1}=\overline -1 \end{eqnarray*}$ im endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray*}$ . Genau für $\begin{eqnarray*} p^n=2^1=2 \end{eqnarray*}$ fallen die beiden Lösungen zusammen.

19.07.2018, 12:26

eroy

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Zitat:

Original von Elvis
Vielleicht sollte man noch hinzufügen, dass über einem beliebigen Körper jede quadratische Gleichung genau 2 Lösungen hat. Die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ hat wegen $\begin{eqnarray*} x^2-1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen -1 und 1, beide müssen im Körper liegen, weil -1 das additive Inverse von 1 ist. Für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p^n-1+1=p^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p^n-1\equiv -1\mod p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \overline {p^n-1}=\overline -1 \end{eqnarray*}$ im endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray*}$ . Genau für $\begin{eqnarray*} p^n=2^1=2 \end{eqnarray*}$ fallen die beiden Lösungen zusammen.

@Elvis, danke! Freude

19.07.2018, 13:30

Guppi12

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Hallo Elvis,

es gibt zwei Dinge, die in deinem Beitrag entweder nicht richtig sind oder anders gemeint sind, als man sie versteht, wenn man deinen Beitrag liest.

Das erste gleich am Anfang: nicht in jedem Körper hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lösungen. Das stimmt doch schön für die reellen Zahlen nicht. Auch würde ich nicht sagen, dass eine Gleichung genau zwei Lösungen hat, wenn sie zusammen fallen, aber das ist wohl Geschmackssache.

Das zweite ist ganz zum Schluss. Die Lösungen 1 und -1 fallen nicht genau für p^n = 2 zusammen sondern wann immer p= 2 ist, auch wenn n größer als 1 ist.

19.07.2018, 13:44

Elvis

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Jede quadratische Gleichung hat über jedem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ genau 2 Lösungen (ggf. mit Vielfachheit, was meinem Geschmack entspricht). Damit meine ich Lösungen z.B. in einem Zerfällungskörper der quadratischen Gleichung über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ oder gleich in einem algebraischen Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline K/K \end{eqnarray*}$ .
Bei der anderen Aussage habe ich anscheinend Mist gebaut. danke.

19.07.2018, 13:48

Guppi12

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Zu der zweiten Aussage: Die unterliegende abelsche Gruppe von $\begin{eqnarray*} F_8 \end{eqnarray*}$ ist nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} Z/8Z \end{eqnarray*}$ , sondern zu $\begin{eqnarray*} (Z/2Z)^3 \end{eqnarray*}$ , ich denke da liegt dein Denkfehler.

Die erste Aussage habe ich nun verstanden.

19.07.2018, 13:51

Elvis

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Stimmt, danke, habe ich eben auch gemerkt, das war voll daneben. unglücklich

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