Parallelprojektion einer Geraden auf Ebene im Raum

19.07.2018, 16:54	Frustomatik	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelprojektion einer Geraden auf Ebene im Raum Hallo, folgende Aufgabe: geg: $\begin{eqnarray} g=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda 1 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ; E: x= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} +\lambda 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda 3 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus vorheriger Aufgabe kenne ich den Schnittpunkt: $\begin{eqnarray} P1=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich Bildgerade der Parallelprojektion der Geraden auf die Ebene bestimmen. Allerdings weiß ich nicht wie. Habe schon den Papula gewältzt, das Internet durchsucht und meine Vorlesungsunterlagen auch. Nicht zu finden. Wie gehe ich an die Aufgabe heran ? Vielen Dank im Voraus
19.07.2018, 17:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was in der Angabe fehlt, ist die Projektionsrichtung (!) Z-B. parallel zur x3-Achse (d.i. senkrecht zu x1-x2 - Ebene) ------------------ Lege einen Projektionsstrahl durch einen weiteren Punkt der Geraden, schneide diesen mit der Ebene und verbinde den Schnittpunkt mit dem erstgenannten P1 mY+
19.07.2018, 18:14	Frustomatik	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Richtung ist auf die Ebene also Normalenvektor der Ebene ? Ich würde jetzt für die Gerade einen Punkt B bestimmen. Dann eine neue Gerade von P2 mit n der Ebene bestimmen, diese mit der Ebene schneiden und hätte doch dann P2' als projizierten Punkt auf der Ebene oder ? Dann wäre die Bildgerade $\begin{eqnarray} h= (P1)+\lambda (AP2') \end{eqnarray}$ Ist das richtig ? Denn geklappt hat es nicht.
19.07.2018, 19:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so. WAS hat nicht geklappt bzw. WO nicht und warum? Vielleicht hast du den Normalvektor falsch berechnet? Den Normalvektor berechnet man vorteilhaft mit der Determinante $\begin{eqnarray} \vec n = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & {\vec{e_1}} \\ a_2 & b_2 & {\vec{e_2}} \\ a_3 & b_3 & {\vec {e_3}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & {\vec{e_1}} \\ 1 & 1 & {\vec{e_2}} \\ 1 & 1 & {\vec {e_3}} \end{vmatrix} = 0 \cdot \vec{e_1} - 2 \cdot \vec{e_2} + 2 \cdot \vec{e_3} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ohne den Faktor 2 ist er dann abgekürzt). Ein zweiter Punkt auf g ist beispielsweise P2(-5; 6; 5), der Schnittpunkt des Projektionsstrahls durch P2 mit der Ebene ist P2'(-5; 3; 8), falls ich mich nicht verrechnet habe ... Das alles ohne Bücher wälzen .. schon gar nicht den Papula (der ist ja sehr umfangreich, aber hier nicht notwendig). mY+
19.07.2018, 22:31	Frustomatik	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man denn den Normalenvektor kürzen ? Ich komme auf P2' = (-5 9 2) wenn ich den Faktor der sich nach Gauß ergibt in die Gerade einsetze. Darf man das nicht ? Die Faktoren sind: $\begin{eqnarray} \lambda 1 Ebene = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda 2 Ebene = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda 3 Gerade = -3/2 \end{eqnarray}$ Wenn ich in die Gerade einsetze P2' = (-5 9 2) Wenn in die Ebene P2' = (-5 3 8) Das verwirrt mich jedes mal bei diesen Aufgaben, als gebe es Regeln die ich nicht kenne.
20.07.2018, 02:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss den Vektor nicht kürzen. Es kommt dann eben ein anderer Parameter heraus, eben $\begin{eqnarray} \lambda_3 = \frac 3 2 \end{eqnarray}$ (anstatt 3), der Lösungspunkt ist der gleiche. P2'(-5; 3; 8) ist der richtige! Die Parameter bei der Ebene stimmen, $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ hängt von der Orientierung des Normalvektors ab (!) (-5; 6; 5) + $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ (0; -2; 2) = (-5; 6; 5) + $\begin{eqnarray} \frac 3 2 \end{eqnarray}$ (0; -2; 2) = (-5; 3; 8) ------------- Der falsche Punkt (-5; 9; 2) kommt offensichtlich durch einen Vorzeichenfehler zustande. Entweder hast du bei $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ das falsche Vorzeichen, oder den Normalvektor (0; 2; -2) anstatt (0; -2; 2) genommen. Zu ersterem gehört dann $\begin{eqnarray} \lambda_3 = - \frac 3 2 \end{eqnarray}$ mY+
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20.07.2018, 13:21	Frustomatik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja tatsächlich ein Vorzeichenfehler. Also werde ich in Zukunft auf Nummer Sicher gehen und in die Ebene einsetzen. Ich muss ja sagen mYthos, Sie sind einer der großartigsten Menschen, denen ich im Internet begegnet bin. Vielen Dank für die Hilfe
20.07.2018, 13:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne ! Mit dem DU-Wort haben wir im Forum keine Probleme, das ist hier üblich und du darfst es gerne verwenden! Gr mY+

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