Verständnisproblem bei Extremum unter Nebenbedingung |
20.07.2018, 13:05 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verständnisproblem bei Extremum unter Nebenbedingung ich versteh bei folgender Aufgabe einen anscheinend wichtigen Schritt nicht: Betrachten sie die Funktion Bei Aufgabe a) (die ich verstehe) , soll man zeigen, dass f kein Extremum auf besitzt. [Die liegt ja daran , dass der Gradient von f der Spaltenvektor (1,1) ist] Allerdings bei Aufgabe b) soll man jetzt die Extrema von f unter der Nebenbedingung bestimmen. Nun aber zum Problem: Die Aufgabe wird mit folgendem ersten Schritt gelöst: Da kompakt ist und f stetig, nimmt f dort das Maximum und Minimum der Funktionswerte an. Dazu hab ich 3 zentrale Fragen: 1.Warum berechnet man nicht einfach die mögichen Extrema , sondern sagt erst, dass die Funktion dieser Werte überhaupt annimt ? Nimmt nicht jede Funktion jeden Funktionswert an ? Also warum macht man sich an dieser Stelle überhaupt Gedanken über diese Tatsache ? 2. Dass die obige Menge beschränkt ist sehe ich direkt , allerdings sehe ich Abgeschlossenheit nie auf den ersten Blick , woran macht man dies hier fest ? 3. Wenn man dann die Extrema berechnet, erhält man nach Lösungsskizze ein globales Max. und Min. . Warum global ? Unser Satz aus der Vorlesung liefert nur lokale Extrema. LG Snexx_Math |
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23.07.2018, 09:22 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Funktion z=x+y beschreibt ein schiefe Ebene im Raum, welche natürlich keine "Berge" und "Täler" besitzt, also keine globalen Extrema. Die Nebenbedingungen 4x²+y²=20 bzw. 4x²+y²<20 beschreiben Ellipsen in der xy-Ebene (mit bzw. ohne Rand). Man soll also die "höchsten" bzw. "tiefsten" Punkte der Ebene angeben, welche oberhalb/unterhalb dieser Ellipsen liegen: Bei der Randbedingung 4x²+y²=20 müssen diese Extrempunkte der schiefen Ebene auf dem Rand der Ellipse liegen. Im Falle 4x²+y²<20 existiert kein Rand, also auch keine Extrempunkte. Mach dir das mal anschaulich klar. Die Rechnung verläuft so, wie ihr es sicher in der Vorlesung hattet. |
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