Verständnisproblem bei Extremum unter Nebenbedingung

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem bei Extremum unter Nebenbedingung
Hallo zusammen,

ich versteh bei folgender Aufgabe einen anscheinend wichtigen Schritt nicht:

Betrachten sie die Funktion

Bei Aufgabe a) (die ich verstehe) , soll man zeigen, dass f kein Extremum auf
besitzt. [Die liegt ja daran , dass der Gradient von f der Spaltenvektor (1,1) ist]

Allerdings bei Aufgabe b) soll man jetzt die Extrema von f unter der Nebenbedingung
bestimmen.

Nun aber zum Problem:

Die Aufgabe wird mit folgendem ersten Schritt gelöst:

Da kompakt ist und f stetig, nimmt f dort das Maximum und Minimum der Funktionswerte an.

Dazu hab ich 3 zentrale Fragen:
1.Warum berechnet man nicht einfach die mögichen Extrema , sondern sagt erst, dass die Funktion dieser Werte überhaupt annimt ? Nimmt nicht jede Funktion jeden Funktionswert an ? Also warum macht man sich an dieser Stelle überhaupt Gedanken über diese Tatsache ?
2. Dass die obige Menge beschränkt ist sehe ich direkt , allerdings sehe ich Abgeschlossenheit nie auf den ersten Blick , woran macht man dies hier fest ?
3. Wenn man dann die Extrema berechnet, erhält man nach Lösungsskizze ein globales Max. und Min. . Warum global ? Unser Satz aus der Vorlesung liefert nur lokale Extrema.

LG

Snexx_Math
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion z=x+y beschreibt ein schiefe Ebene im Raum, welche natürlich keine "Berge" und "Täler" besitzt, also keine globalen Extrema.

Die Nebenbedingungen 4x²+y²=20 bzw. 4x²+y²<20 beschreiben Ellipsen in der xy-Ebene (mit bzw. ohne Rand). Man soll also die "höchsten" bzw. "tiefsten" Punkte der Ebene angeben, welche oberhalb/unterhalb dieser Ellipsen liegen: Bei der Randbedingung 4x²+y²=20 müssen diese Extrempunkte der schiefen Ebene auf dem Rand der Ellipse liegen. Im Falle 4x²+y²<20 existiert kein Rand, also auch keine Extrempunkte.

Mach dir das mal anschaulich klar. Die Rechnung verläuft so, wie ihr es sicher in der Vorlesung hattet.
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