Unleserlich! Abschätzung von Cos und Sin mit x zwischen (0,2)

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JosephK Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung von Cos und Sin mit x zwischen (0,2)
Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe eine Frage zu einem Lemma in meinem Skript, das ich auf Teufel komm raus nicht verstehen will!
Es geht um eine Abschätzung von sinx und cosx und bezieht sich auf deren Reihendarstellung.

Hier erstmal die Stelle:

Lemma 5.24
Sei x ? [0,2]. Dann ist die Folge1113089 1113089(x^k/n!)1113090 monoton fallend für alle n?1.

Korollar 5.25 Sei x ? [0, 2]. Dann gilt:
1) 1 ? x^2/2! ? cosx ? 1? x^2/2! + x^4/ 4!
2) x ? sinx ? x? x^3/3!

Beweis: Dies folgt sofort aus dem Lemma 5.24 und der Tatsache, dass die Sinus- und Cosinusreihen alternierende Reihen sind.

Meine Ideen:
Ich verstehe das Lemma, und ich sehe auch, dass die beiden Reihen alternierend sind und was das dann wiederum für Auswirkungen auf die Partialsummen hat, die dann ja gegeneinander abgeschätzt werden.
Aber was ich nicht verstehe, ist wie man überhaupt darauf kommt, sinx und cosx dazwischen zu setzen, und auch nicht wieso beim Cosinus 3 Reihenglieder und beim Sinus 2 Reihenglieder zur Abschätzung benötigt werden.
Das Lemma sagt mir ja eigentlich nur, wie die Partialsummen jeweils zueinanderstehen, und deswegen die Richtung des Kleiner-Gleich-Zeichens. Aber ich verstehe das nur in Bezug auf die Reihenglieder, nicht wie sich cosx und sinx dazwischengeschoben haben.
Befürchte es ist ganz offensichtlich und ich stehe gerade einfach nur auf dem Schlauch, aber ich komm nicht drauf.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Erfahrungswerte
Wenn sich ein Fragesteller nicht unmittelbar Mühe gibt, so einen Copy+Paste-Sauhaufen wie oben wenigstens einigermaßen leserlich zu machen, dann gibt es im wesentlichen folgende Gründe:

a) So richtiges Interesse hat er nicht an der Beantwortung der Frage.

b) Er verteilt dieselbe Anfrage inzwischen in anderen Foren.

Meistens ist es b), weshalb die Motivation, die Hieroglyphen oben zu entziffern, auf nahe Null sinkt. unglücklich
JosephK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erfahrungswerte
Hallo,


habe mich nun angemeldet, ich kann meinen Beitrag oben leider nicht mehr editieren.
Bitte nicht voreilig urteilen: Ich habe die veröffentlichte Version schlicht nicht gesehen und mir sonst allerdings durchaus Mühe gegeben, weil ich bereits umformen musste. Anscheinend nicht genug.

Wie gesagt, kann ich es nicht korrigieren und hatte unregistriert auch nur begrenzte Möglichkeiten.


Hier nun ordentlich:

Lemma 5.24
Sei x e [0,2]. Dann ist die Folge (x^k/n!) monoton fallend für alle n>1.

Korollar 5.25
Sei x e [0, 2]. Dann gilt:
1) 1 - x^2/2! < cosx < 1 - x^2/2! + x^4/ 4!
2) x > sinx > x - x^3/3!

Beweis: Dies folgt sofort aus dem Lemma 5.24 und der Tatsache, dass die Sinus- und Cosinusreihen alternierende Reihen sind.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erfahrungswerte
Zitat:
Original von JosephK
Ich habe die veröffentlichte Version schlicht nicht gesehen

Man kann sowohl eine Vorschau ansehen, und wenn man das versäumt auch noch den fertig abgeschickten Beitrag.

Zitat:
Original von JosephK
Wie gesagt, kann ich es nicht korrigieren und hatte unregistriert auch nur begrenzte Möglichkeiten.

Man kann einen neuen Beitrag schreiben - unmittelbar (sagen wir mal 10 Minuten).


Immerhin ist es eine seltene angenehme Überraschung, dass mal einer (wenn auch sehr verspätet) das angerichtete Schlamassel selbst versucht zu korrigieren.
JosephK Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Du hast natürlich Recht. Es tut mir Leid.
Neuschreiben wollte ich nicht, weil ich den alten auch nicht löschen kann.
Wenn du mir nun nicht inhaltlich helfen möchtest: fein. Aber Formfehler wurde verstanden und soweit es geht bereinigt. Muss man vielleicht nicht weiter ausbreiten nun.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so einen Sch...ss wie oben fabrizierst und ewig nicht korrigierst, wirst du doch wenigstens mal ein paar Minuten warten können, um dir das anzuhören - ich helfe schon noch. Forum Kloppe

Und "Formfehler" ist eine krasse Verharmlosung, die von wenig Einsicht zeugt. unglücklich

Zitat:
Original von JosephK
Lemma 5.24
Sei x e [0,2]. Dann ist die Folge (x^k/n!) monoton fallend für alle n>1.

Anscheinend meinst du statt .

Lemma 5.24 wird benutzt um zu zeigen, dass die Potenzreihen (das sind die Taylorreihen dieser Funktionen!)





beides Leibnizreihen sind, wo für die Monotonie der Absolutwerte der Reihenglieder zumindest ab Glied einsetzt. Von besonderem Interesse ist dabei die Einschachtelung des Reihenwerts zwischen die Partialsummenwerte ungerader und gerader Ordnung.
 
 
JosephK Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!
Das Leibnizkriterium hatten wir, die Leibnizreihe an sich nicht.
Diese Einschachtelung des Reihenwerts - kann man die allein aus dem Leibnizkriterium schließen? Weil genau an dieser Einschachtelung hackt es bei mir. Und in unserem Skript wurde das nicht extra wie im Wikipedia-Eintrag erwähnt. Da ging es nur um die Konvergenz an sich.
Wie komme ich darauf, dass der Wert der Summe zwischen geraden und ungeraden Partialsummen liegt?


Und wieso wurde in meinem Beispiel bei sinx Partialsummen 1 und 2 und bei cosx 2 und 3 gewählt? Spielt das eine Rolle?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JosephK
Wie komme ich darauf, dass der Wert der Summe zwischen geraden und ungeraden Partialsummen liegt?

Das ist eine einfache Folgerung der Monotonie der Absolutwerte der Reihenglieder:

Zitat:
Sei eine solche Leibnizreihe, d.h., es existiert ein , so dass eine monoton fallende Nullfolge ist. Dann gilt für die Partialsummenfolge die Einschachtelung für alle mit .


Begründung:


1) Es ist

wegen ,

d.h. die Teilfolge ist monoton wachsend, zumindest für .


2) Es ist

wegen ,

d.h. die Teilfolge ist monoton fallend, zumindest für .


Da der Grenzwert auch beider Teilfolgen sein muss, folgt daraus unweigerlich . An sich sind diese Überlegungen Bestandteil des Beweises des Leibniz-Kriteriums.
JosephK Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank dir!
Das ist ja ganz wunderbar.
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