Leere Menge oder Unfug?

22.07.2018, 18:59

Pippen

Leere Menge oder Unfug?

Wir haben die Menge {n|n ist Lösung einer Division durch Null}. Ist das jetzt die leere Menge, weil die Div. durch Null undefiniert ist und damit die Menge kein Element enthalten kann (weil ja sonst die Div. durch Null für mind. einen Fall definiert wäre) oder ist das einfach gar keine bzw. eine undefinierte Menge?

22.07.2018, 19:26

Elvis

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RE: Leere Menge oder Unfug?

Zitat:

Original von Pippen
Wir haben die Menge {n|n ist Lösung einer Division durch Null}.

Wer hat die Menge ? Hast du sie ? Ich habe sie nicht. Also haben wir sie nicht.
Anmerkung: Im Nullring ist die Division durch Null erlaubt.

23.07.2018, 00:23

Pippen

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RE: Leere Menge oder Unfug?

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von Pippen
Wir haben die Menge {n|n ist Lösung einer Division durch Null}.

Wer hat die Menge ? Hast du sie ? Ich habe sie nicht. Also haben wir sie nicht.

D.h. das ist für dich gar keine wohldefinierte Menge, ja?

23.07.2018, 06:50

DerJoker

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Nein. Das heißt im Nullring ist diese Menge ungleich der leeren Menge. Du solltest aber mal aufschreiben wie denn die Aufgabe eigentlich lautet. Was ist n? Liegt n in de natürlichen Zahlen? Reellen? Komplexen? In einem endlichen Körper? In einem Ring? In einem....? Keiner von uns welche Menge du eigentlich meinst. So wie von dir beschrieben kann es alles mögliche sein.

23.07.2018, 07:57

Elvis

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In Cantors naiver Mengenlehre ist eine Menge die Zusammfassung wohldefinierter Objekte. Geschwafel erzeugt keine wohldefinierten Objekte, also keine Menge.

24.07.2018, 08:33

Leopold

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@ Pippen

Ich halte nichts von der Definition von uferlosen Mengen ohne eine Grundmenge als Basis. Auch wenn Cantors Mengenbegriff scheinbar alles zuläßt, ist doch immer an mathematische Objekte gedacht. Die "Menge der Gedanken Cäsars in der Nacht vor seinem Tod" mag zwar ein hübsches Gesprächsthema für eine durchzechte Nacht bei der Semesterabschlußfeier im mathematischen Institut sein, am Tag danach sollte man sich aber ausgenüchtert wieder mit "wirklichen" Mengen beschäftigen.

Bei den unendlichen Zahlenmengen hat sich die mathematische Gemeinde auf die zwei Grundstrukturen $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ und $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ verständigt. Viele interessante Mengen des "täglichen Lebens" sind bis auf Isomorphie durch mengentheoretische Prozesse (Teilmenge, Vereinigung, Schnitt, Produkt, Potenz) aus diesen Mengen zu gewinnen.

In der Beschreibung

$\begin{align*} \left\{ \, n \, \left| \ n \ \text{ist Lösung einer Division durch} \ 0 \right. \right\} \end{align*}$

wird durch den Begriff "Division" eine algebraische Struktur unterstellt. Divisionen können Mathematiker nur als Umkehrungen von Multiplikationen denken, und wenn von einer Multiplikation und Division die Rede ist, muß es als vorgelagerte Operationen auch eine Addition und Subtraktion geben. Aber von welcher Grundmenge gehen wir aus? Auf diese Problematik weisen Elvis und DerJoker hin. Ich vermute einmal, daß du nicht an Strukturen aus der Algebra wie den Nullring gedacht hast, sondern dir bekannte Zahlenmengen mit den üblichen Operationen vorschweben. Aber welche? Ich will einmal einen Vorschlag machen:

$\begin{align*} L = \left\{ \, x \in \mathbb{R} \, \left| \ x \cdot 0 = 1 \, \right. \right\} \end{align*}$

Ich halte $\begin{align*} L \end{align*}$ für eine sinnvoll definierte Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ . Jedes Element von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ ist auf die Bedingung $\begin{align*} x \cdot 0 = 1 \end{align*}$ überprüfbar. Man kann somit diejenigen Elemente von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ aussondern, die diese Bedingung erfüllen. Besonders viele Elemente scheinen mir das nicht zu sein.

25.07.2018, 16:59

Pippen

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RE: Leere Menge oder Unfug?

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \left\{ \, n \, \left| \ n \ \text{ist Lösung einer Division durch} \ 0 \right. \right\} \end{align*}$

Sagen wir, die Grundmenge sei IR, das Übliche halt, was man aus der Schule kennt, ich will da gar nicht vertiefen, weil das mE keine Rolle spielt. Die Division durch Null ist nicht definiert. Ist dadurch die Menge leer, weil wir natürlich kein n finden werden, wenn die Div. durch Null undefiniert ist oder gar keine Menge, weil die Div. durch Null undefiniert ist und wir gar nicht wissen, was und wie n sein soll?

Ich könnte auch fragen: Ist die Menge {x|Käffchen!} leer oder keine Menge?

Ich dachte bisher immer, solche Mengen seien leer, merke aber jetzt, dass das wohl eher gar keine Mengen sind bzw. deshalb frage ich.

25.07.2018, 17:47

zweiundvierzig

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RE: Leere Menge oder Unfug?

Zitat:

Original von Pippen
Ich könnte auch fragen: Ist die Menge {x|Käffchen!} leer oder keine Menge?

Das Seperationsschema spricht nur über Formeln aus der Sprache der Mengenlehre (einer $\begin{eqnarray*} \mathrm{FO}(=,\in) \end{eqnarray*}$ -Theorie).

25.07.2018, 18:27

Elvis

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@Pippen
Leopold hat in seiner unendlichen Güte einen mathematisch und sprachlich sinnvollen Vorschlag gemacht, wie du dich dem Problem, falls es eines sein sollte, nähern kannst. Wenn es so leicht möglich ist, ein gedankliches Problem durch klare Sprache zu lösen, solltest du nicht darauf bestehen, dass das gedankliche Problem erhalten bleibt, indem du die saubere Sprache und das klare Denken wieder durch Laxheit in Sprache und Denken ersetzt. Wenn du ernsthaft fragst, musst du freundliche Antworten akzeptieren, sonst kann man dich nicht mehr ernst nehmen. (Warum laufen Diskussionen über mathematische Fragen immer wieder auf "Erziehungsmaßnahmen für kleine Kinder" hinaus ?)

25.07.2018, 22:06

Leopold

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Betrachten wir die Menge $\begin{align*} \mathfrak{F} \end{align*}$ der Fragen Pippens und die Menge $\begin{align*} \mathfrak{B} = \{ \, 0 \, , \, 1 \} \end{align*}$ der Booleschen Werte 0 (falsch) und 1 (wahr). Ferner sei eine Entscheidungsfunktion

$\begin{align*} S: \mathfrak{F} \to \mathfrak{B} \end{align*}$

gegeben, die entscheidet, ob eine Frage $\begin{align*} F \end{align*}$ sinnvoll ist, also $\begin{align*} S(F)=1 \end{align*}$ , oder nicht, also $\begin{align*} S(F)=0 \end{align*}$ .

Man bestimme die Kardinalität der Menge

$\begin{align*} \left\{ \, F \in \mathfrak{F} \, \left| \ S(F)=1 \, \right. \right\} \end{align*}$

25.07.2018, 23:30

Pippen

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Ich verstehe eure Überlegungen leider nicht so recht, daher ein anderer Versuch:

M = {x | x € IN & x > $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ }. Auch hier haben wir mein Problem: In IN gibt es keine unendliche Zahl, so dass die gesuchte Eigenschaft schlicht nirgends definiert ist. Führt das dazu, dass wir auch kein x dazu finden können und M leer ist oder dazu, dass das ganze Ding gar keine Menge ist, weil aus Undefiniertem gar nichts folgt.

26.07.2018, 13:04

Elvis

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Der Wert dieser Frage unter Leopolds Entscheidungsfunktion ist 0 oder 1, aber nur, wenn man LEM akzeptiert. Intuitionisten hätten eventuell mehr Probleme als ich, diese Erntscheidung zu treffen. Bei 35°C möchte ich mich heute aber auch nicht festlegen - intuitiv halte ich die Frage für überflüssig.

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