Erwartungswert

23.07.2018, 09:51

ssuaG

Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo smile

Seien S0=0 und Sk = X1 + ... + Xk mit unabhängignen Zuwächsen X1,X2,...
Für alle k gelte P(Xk = 1) = 1 - P(Xk = -1) mit p aus (0,1).

Laut dieser Vor. ist der Erwartungswert E[Xk+1] = 2p - 1

Meine Ideen:
Wie kommt man darauf?

Ist dann P(Xk = 1) = P(Xk = -1) = p
und daher E[Xk+1]= p + p -1 = 2p - 1 ?

23.07.2018, 09:57

ssuaG

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Hier hab ich dasselbe Verständnisproblem unglücklich

Sei p aus (0,1) , 0 < d < 1 < u und U = Uk mit k aus den nat.Zahlen ein Prozess mit P(Uk = u) = 1 - P(Uk = d) = p für alle k.
Die U1,U2,... seien unab. , außerdem sei jedes Uk unab. von Fk (Filtration).
Sei S0 aus R^+ und Sk+1 = Uk*Sk .

Hier ist der Erwartungswert E[Uk] = (up + d(1 - p)).

23.07.2018, 10:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von ssuaG
Für alle k gelte P(Xk = 1) = 1 - P(Xk = -1) mit p aus (0,1).

So formuliert ist das schonmal Bullshit:

Was hat der hier "losgelöste" Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ zu tun? In dieser Formulierung gar nichts. unglücklich

Was womöglich gemeint war: Es sei $\begin{eqnarray*} P(X_k=1)=:p \end{eqnarray*}$ , und wenn $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ nur Werte in $\begin{eqnarray*} \{-1,+1\} \end{eqnarray*}$ annimmt, dann folgt unweigerlich $\begin{eqnarray*} P(X_k = -1) = 1-p \end{eqnarray*}$ , und somit dann auch für den Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E[X_k] = 1\cdot P(X_k=1) + (-1)\cdot P(X_k=-1) = p - (1-p) = 2p-1 \end{eqnarray*}$ .

Und beim zweiten Beispiel dasselbe in grün:

$\begin{eqnarray*} E[U_k] = u\cdot P(U_k=u) + d\cdot P(U_k = d) = up + d(1-p) \end{eqnarray*}$ .

23.07.2018, 12:51

ssuaG

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Die Formulierung hab ich aus einer Aufgabe heraus geschrieben. Da musste man primär ein p bestimmen, sodass S ein Martingal ist.

Ich bin dir sehr dankbar dafür. Hab es jetzt dann auch verstanden.
Juhuu Augenzwinkern

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