Wahrscheinlichkeit eine Gruppe von Karten aus einem Stapel zu ziehen (Urnenmodell mit Zurücklegen)

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Nils A Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit eine Gruppe von Karten aus einem Stapel zu ziehen (Urnenmodell mit Zurücklegen)
Meine Frage:
Hallo!
Das Problem lässt sich wohl am einfachsten mithilfe eines Kartenstapels und einer bestimmten Anzahl besonderer Karten beschreiben.

Ich möchte Könige (jeder davon einzigartig) aus einem Stapel von Karten ziehen.
Dabei wird eine Karte gezogen, betrachtet, zurückgelegt und der Stapel neu gemischt.
Also haben wir ein gewöhnliches Urnenmodell mit Zurücklegen, richtig?

Wir haben
500 Karten, davon
15 jeweils einzigartige Könige und
485 beliebige andere Karten.


Wie viele Züge n sind nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von x jeden individuellen König mindestens einmal gezogen zu haben?




Meine Ideen:
Für die Wahrscheinlichkeit einen beliebigen König zu ziehen, habe ich folgenden Ansatz:

Wahrscheinlichkeit einen beliebigen König zu ziehen = 15/500
Wahrscheinlichkeit KEINEN König zu ziehen = 485/500


Anzahl der Züge n, die nötig sind um mit einer Wahrscheinlichkeit von x einen beliebigen König zu ziehen

==>

So weit, so gut. Also falls das so stimmt.


Aber wie berechnet man das nun für ALLE Könige?
Nochmal die konkrete Fragestellung:
Wie viele Züge n sind nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von x jeden individuellen König mindestens einmal gezogen zu haben?

Muss man hierfür letztlich nicht einfach die Wahrscheinlichkeit berechnen, jede einzelne Karte mindestens 1 mal zu ziehen?
Wie stellt man das an?


Könnte der korrekte Ansatz ungefähr eine solche Form haben?



Und falls ja, wie wird so etwas richtig notiert (um es z.B. in Excel/Wolframalpha einzugeben)?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Problemstellung: Karten, davon ausgezeichnete. Nun wird -mal mit Zurücklegen gezogen, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit , dass jede der ausgezeichneten Karten dabei mindestens einmal gezogen wurde.


Wie so oft hilft die Siebformel: Wir betrachten die Ereignisse

... Ausgezeichnete Karte Nr. wurde bei keiner der Ziehungen erwischt .

Dann ist gemäß Siebformel

,

letzteres natürlich wegen der Symmetrie der Ereignisse . Bleibt noch die Wahrscheinlichkeit dieser Durchschnitte zu berechnen, und das ist einfach . Das Gesamtergebnis ist somit

.

Bei deinen Werten ist z.B. , d.h. auch bei 1000 Ziehungen hat man erst 11.2% Wahrscheinlichkeit, alle 15 Könige wenigstens einmal erwischt zu haben. sieht schon deutlich besser aus. Augenzwinkern


Betrachtet man die als näherungsweise unabhängig (wirklich unabhängig sind sie aber nicht), dann ergibt sich die Näherungsformel , die für große ganz passabel ist.
 
 
Nils A Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort. Das hilft schonmal sehr viel! @Hal 9000


Habe damit mal rumgespielt und einen Graphen erstellt. 95% Wahrscheinlichkeit erreicht man erst bei knapp 3000 Ziehungen.
Da also wirklich sehr viele Versuche notwendig wären um alle Könige zu ziehen, würde ich das ganze nun gerne erweitern um den Fall, dass man sich auch mit weniger als allen Königen zufrieden gibt.

Die neue Fragestellung wäre dann:
Wie viele Ziehungen n sind nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von p mindestens X verschiedene der insgesamt M ausgezeichneten Karten zu ziehen?

Mein eigener Ansatz oben war ja schon komplett daneben und hier komme ich auch nicht weiter ohne Hilfe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, man kann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau der Ereignisse nicht eintreten und die anderen aber doch, und zwar wieder mit Siebformel:

.

Nun kann man noch wählen, welche der Ereignisse das sein soll (Auswahlanzahl per Binomialkoeffizient), man erhält letzten Endes

.
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