Vollständige Induktion verstehen anhand eines einfachen Beispiels

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Kaffeetrinker89 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion verstehen anhand eines einfachen Beispiels
Meine Frage:
Es soll die vollständige Induktion für folgende Aufgabe durchgeführt werden.



Für alle



Mein Ansatz ist wie folgt:

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:




Nun, komm ich schon nicht mehr weiter. Die Lösung sagt, dass dort ein stehen muss. Kann mir das jemand näher erläutern?

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Meine Ideen: Siehe oben smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsvoraussetzung:
Induktionsschritt: Zu zeigen:
Beweis: nach Induktionsvoraussetzung !
 
 
Kaffee89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Kannst du mir näher erläutern, wie dieser Term,
zustande kommt?

Das versteh ich nicht verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktionsvoraussetzung wird in den Term eingesetzt, d.h. es wird in diesen Term an der Stelle der Term eingesetzt und die Induktionsvoraussetzung sagt, dass dann das -Zeichen benutzt werden soll. Auf diese Weise kommen wir wegen der Induktionsvoraussetzung zur Ungleichung . Das ist das Prinzip der vollständigen Induktion. Man benutzt die Induktionsvoraussetzung und macht damit den Induktionsschritt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Ansinnen (vielleicht sollte man es "Unsinnen" nennen), Ungleichungen für Polynomfunktionen mittels Vollständiger Induktion nachzuweisen hält sich hartnäckig in den Schullehrbüchern. Dazu ist folgendes zu sagen:

1) Direkt geht es meist viel schneller, z.B. hier: Äquivalent umgeformt wird die Behauptung zu , was für sofort einsichtig ist (beide Faktoren links sind .

2) Wenn man es doch mit Induktion probiert, so ist zur Begründung im Induktionsschritt wieder eine Polynomungleichung nötig, nur einen Grad tiefer. Wenn man Glück hat, dann ist diese so einfach wie hier das . Wenn man Pech hat, dann ist (nach der Logik der Aufgabensteller) wohl eine weitere (Sub-)Induktion nötig... Big Laugh
Kaffee89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Ich denke, dass ich es nun verstanden habe. Sollte noch was sein, melde ich mich smile
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