Martingal bzgl. Filtration

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ssuaG Auf diesen Beitrag antworten »
Martingal bzgl. Filtration
Meine Frage:
Hallo smile
Wenn man ein Martingal bzgl. einer Filtration Fn bestimmen will, dann setzt man doch E[Xn+1 | Fn] an und manchmal aber auch E[Xm | Fn] .

Genau darin liegt mein Problem. Woran kann man erkennen, welchen Ansatz man machen muss aus der Voraussetzung von einer Aufgabe ?


Meine Ideen:
Ehrlich gesagt hab ich kein Plan, deshalb frag ich hier auch nach.
Im diskreten Fall benutzt man E[Xn+1|Fn] = Xn und im Allg. Fall E[Xm|Fn] = Xn.
Jedoch erkenne ich das bei den Aufgaben leider nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Formulierung nicht: Man bestimmt doch so nicht ein Martingal bzgl. Filtration , sondern man überprüft für gegebenes , ob es ein Martingal bzgl. ist. verwirrt
 
 
ssuaG Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hab mich dann nicht richtig ausgedrückt.
Vielleicht wird mein Problem an zwei Beispielen deutlicher.

Aufgabe 1 : Seien Z1,Z2,... stochastisch u.i.v. ZV auf W-Raum (Omega, A,P) mit P(Z1>=0) und E[Z1]=1.Weiter sei X0 = 1 und Xn := "Produkt von j=1 bis n von Zj") , n>=1. Zeige: Die Folge Xn ist ein Martingal bzgl. d. Filtration Fn = Sigma(X0,...,Xn).

Lsg: E[Xn+1|X0,...,Xn)=...=Xn

Aufgabe 2: Seien X1,X2,... stochastisch u.i.v. ZV, wobei X1~Exp(1).Weiter seien Y0:=0 und Yn := für n aus nat.Zahlen. Zeige:
Die Folge Yn ist ein Submartingal bzgl. d. Filtration Fn:=Sigma(X1,...,Xn) und F0:={{},Omega}

Lsg: E[Ym|Fn]=...>=Yn
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ssuaG
mit P(Z1>=0)

Das sollte wohl "mit " heißen? verwirrt


Na rechne doch einfach los, unter Nutzung der Regeln der bedingten Erwartung:

1) Trivialerweise ist ja -messbar, damit gilt

.

Nun ist unabhängig von , und damit automatisch auch unabhängig von den nur aus letzteren abgeleiteten , daraus folgt .


2) Für haben wir , mit ähnlicher Argumentation wie eben bei 1) folgt

,

basierend auf , was aus folgt.
ssuaG Auf diesen Beitrag antworten »

Bei beiden Aufgaben ist Z.z das die jeweilige Folge ein Martingal bzw. Submartingal bzgl. der Filtration Fn ist.
Wieso dann diese Unterschiedliche Herangehensweise?
Liegt es bei Aufgabe 2 wie F0 definiert ist?
ssuaG Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, P(Z1 >=0)=1.
Wie man zum Ergebnis kommt, kann ich nachvollziehen. Danke dafür!
Warum aber diese unterschiedlichen Ansätze?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß ich erst, was du meinst - dein Beispiel 2) war untauglich dafür, das zu verdeutlichen:


Du redest von stetiger Zeit, d.h. für mit .


Du kannst auch gern bei diskreter Zeit für alle mit nachweisen, aber hinreichend dafür ist bereits der Nachweis für , der Rest folgt dann per Induktion basierend auf der Eigenschaft

für

der bedingten Erwartung. Eine derartige Vereinfachung auf einen festen Grundabstand ist im stetigen Fall nicht möglich.
ssuaG Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist der Beste Gott
Thx
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