Martingal bzgl. Filtration

25.07.2018, 16:09

ssuaG

Martingal bzgl. Filtration

Meine Frage:
Hallo smile

Wenn man ein Martingal bzgl. einer Filtration Fn bestimmen will, dann setzt man doch E[Xn+1 | Fn] an und manchmal aber auch E[Xm | Fn] .

Genau darin liegt mein Problem. Woran kann man erkennen, welchen Ansatz man machen muss aus der Voraussetzung von einer Aufgabe ?

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt hab ich kein Plan, deshalb frag ich hier auch nach.
Im diskreten Fall benutzt man E[Xn+1|Fn] = Xn und im Allg. Fall E[Xm|Fn] = Xn.
Jedoch erkenne ich das bei den Aufgaben leider nicht.

25.07.2018, 16:19

HAL 9000

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Ich verstehe deine Formulierung nicht: Man bestimmt doch so nicht ein Martingal $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ bzgl. Filtration $\begin{eqnarray*} (\mathcal{F}_n) \end{eqnarray*}$ , sondern man überprüft für gegebenes $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ , ob es ein Martingal bzgl. $\begin{eqnarray*} (\mathcal{F}_n) \end{eqnarray*}$ ist. verwirrt

25.07.2018, 16:42

ssuaG

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Okay, hab mich dann nicht richtig ausgedrückt.
Vielleicht wird mein Problem an zwei Beispielen deutlicher.

Aufgabe 1 : Seien Z1,Z2,... stochastisch u.i.v. ZV auf W-Raum (Omega, A,P) mit P(Z1>=0) und E[Z1]=1.Weiter sei X0 = 1 und Xn := "Produkt von j=1 bis n von Zj") , n>=1. Zeige: Die Folge Xn ist ein Martingal bzgl. d. Filtration Fn = Sigma(X0,...,Xn).

Lsg: E[Xn+1|X0,...,Xn)=...=Xn

Aufgabe 2: Seien X1,X2,... stochastisch u.i.v. ZV, wobei X1~Exp(1).Weiter seien Y0:=0 und Yn := $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} Xj \end{eqnarray*}$ für n aus nat.Zahlen. Zeige:
Die Folge Yn ist ein Submartingal bzgl. d. Filtration Fn:=Sigma(X1,...,Xn) und F0:={{},Omega}

Lsg: E[Ym|Fn]=...>=Yn

25.07.2018, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von ssuaG
mit P(Z1>=0)

Das sollte wohl "mit $\begin{eqnarray*} P(Z_1\geq 0)~{\color{red}= 1} \end{eqnarray*}$ " heißen? verwirrt

Na rechne doch einfach los, unter Nutzung der Regeln der bedingten Erwartung:

1) Trivialerweise ist $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n \end{eqnarray*}$ -messbar, damit gilt

$\begin{eqnarray*} E\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right] = E\left[ X_n\cdot Z_{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right] \stackrel{!}{=} X_n\cdot E\left[ Z_{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right] \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} Z_{n+1} \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} Z_0,\ldots,Z_n \end{eqnarray*}$ , und damit automatisch auch unabhängig von den nur aus letzteren abgeleiteten $\begin{eqnarray*} X_0,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray*} E\left[ Z_{n+1} \mid \mathcal{F}_n\right] = E\left[ Z_{n+1} \right] = 1 \end{eqnarray*}$ .

2) Für $\begin{eqnarray*} m\geq n \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} Y_m = Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k \end{eqnarray*}$ , mit ähnlicher Argumentation wie eben bei 1) folgt

$\begin{eqnarray*} E\left[Y_m \mid \mathcal{F}_n\right] = E\left[Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k \mid \mathcal{F}_n\right] = Y_n + E\left[\sum_{k=n+1}^m X_k \mid \mathcal{F}_n\right] = Y_n + E\left[\sum_{k=n+1}^m X_k\right] = Y_n + m-n \geq Y_n \end{eqnarray*}$ ,

basierend auf $\begin{eqnarray*} E\left[ X_k\right] = 1 \end{eqnarray*}$ , was aus $\begin{eqnarray*} X_k\sim\operatorname{Exp}(1) \end{eqnarray*}$ folgt.

25.07.2018, 17:03

ssuaG

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Bei beiden Aufgaben ist Z.z das die jeweilige Folge ein Martingal bzw. Submartingal bzgl. der Filtration Fn ist.
Wieso dann diese Unterschiedliche Herangehensweise?
Liegt es bei Aufgabe 2 wie F0 definiert ist?

25.07.2018, 17:06

ssuaG

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Ja, P(Z1 >=0)=1.
Wie man zum Ergebnis kommt, kann ich nachvollziehen. Danke dafür!
Warum aber diese unterschiedlichen Ansätze?

25.07.2018, 17:19

HAL 9000

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Jetzt weiß ich erst, was du meinst - dein Beispiel 2) war untauglich dafür, das zu verdeutlichen:

Du redest von stetiger Zeit, d.h. $\begin{eqnarray*} E\left[X_t \mid \mathcal{F}_s \right] = X_s \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s,t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s\leq t \end{eqnarray*}$ .

Du kannst auch gern bei diskreter Zeit $\begin{eqnarray*} E\left[X_m \mid \mathcal{F}_n \right] = X_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\geq n \end{eqnarray*}$ nachweisen, aber hinreichend dafür ist bereits der Nachweis für $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ , der Rest folgt dann per Induktion basierend auf der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} E\left[ E\left[ X \mid \mathcal{B} \right] \mid \mathcal{A}\right] = E\left[ X \mid \mathcal{A}\right] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B} \end{eqnarray*}$

der bedingten Erwartung. Eine derartige Vereinfachung auf einen festen Grundabstand ist im stetigen Fall nicht möglich.

25.07.2018, 18:17

ssuaG

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Du bist der Beste Gott

Thx

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