Erzeugendensystem

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Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem
Meine Frage:
Hallo,
folgende Frage:
wir haben einen n-dimensionalen K-VR und M = (v1,...,vn) ist Erzeugendensystem von V.
Ist M automatisch eine Basis?

Das n-dimensional bedeutet ja das er endlich erzeugt ist und somit aus endlich vielen Basen besteht. Somit lässt sich jeder der Vektoren da drin bauen. Die Vektoren wären linear abhängig und somit wäre M keine Basis?!
Stimmt dieser Gedankengang oder ist das komplett falsch?


LG Lilly


Meine Ideen:
oben
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Eine Basis ist ein maximales linear unabhängiges System. Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Jede Basis hat genau dim(V) Elemente.
Lilly. Auf diesen Beitrag antworten »

Leider kann ich damit immer noch nicht richtig die Frage beantworten.
Also ist M eine Basis?
doch nur unter der Bedingung, dass die Vektoren linear unabhängig sind oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem
Zitat:
Original von Lilly.
Das n-dimensional bedeutet ja das er endlich erzeugt ist und somit aus endlich vielen Basen besteht.


Dieser Satz ergibt keinen Sinn. Ein Vektorraum "besteht nicht" aus Basen, sondern aus Vektoren. Was eine Basis ist, hat Elvis erklärt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

M ist genau dann eine Basis von V, wenn M ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist. Das ist die erste Charakterisierung einer Basis, die ich dir gegeben habe. Diese Charakterisierung wird meistens als Definition des Begriffs Basis verwendet.

Der Aufgabenstellung entsprechend ist M ein Erzeugendensystem von V. Aus den beiden weiteren Charakterisierungen einer Basis und dem letzten Satz musst du jetzt eine Entscheidung treffen, ob M linear abhängig oder linear unabhängig ist.

Falls M linear abhängig ist, ist M keine Basis. Ist M linear unabhängig, so ist M eine Basis. Wenn man es entscheiden kann, muss man es entscheiden. Wenn man es nicht entscheiden kann, kann man es nicht wissen.

Aus der Aufgabenstellung weißt du auch, dass M genau n=dim V Elemente enthält. Wenn die Frage entscheidbar ist, dann muss die Entscheidungsgrundlage in dieser Aussage liegen.

Denke nach ...
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