Absolute Stetigkeit |
26.07.2018, 09:23 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Absolute Stetigkeit Hi Es sei das durch = geg. Maß auf (, B("Borel-Menge")), wobei dk das Dirac-Maß sein soll. Sei ^1 das Lebesgue-Maß auf (, B("Borel-Menge")). Zeigen Sie, dass v := ^1 ein Sigma-endliches Maß aus (^2, B^2("Borel-Menge")). Ist v abs.stetig bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maß ^2 ? Lsg: Definiere für n aus nat.Zahlen An := [-n,n]^2. Dann ist An aufsteigende Folge gegen (^2 und v(An) = ^1([-n,n]) = n^2(n + 1) < . Somit ist v Sigma-endlich. Weiterhin gilt ^2({1} x [0,1]) = 0 und v({1} x [0,1]) = 1. Somit ist v nicht abs.stetig bzgl. ]^2. Meine Ideen: Um z.z. das v abs.stetig bzgl. ^2 ist, setzt man erst ^2(An) = 0 und folgert dann daraus das auch v(An) = 0 ist. Und die ist v Sigma-endl. so ex. eine Dichte f von v bzgl. ^2. Meine Frage ist nun : Warum bzw. wie kommt man von v(An) auf n^2(n + 1) ? Mein Ansatz : ^1([-n,n]) = n - (-n) = 2n = das Dirak-Maß wird 1, wenn k Element von [-n,n] ist und andernfalls 0. Und da komme ich leider nicht weiter Genauso verstehe ich auch nicht warum ^2({1} x [0,1]) = 0 und v({1} x [0,1]) = 1 ist. Die Folgerung dessen, ist das Einzige das ich verstehen kann |
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26.07.2018, 12:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Absolutstetigkeit erfordert, dass für jede (!) Menge mit auch gilt. Zum Beweis des Gegenteils genügt damit die Angabe einer einzigen Menge mit und , und genau das wird dort getan anhand der Menge .
Man rechnet es aus! Es ist unter Einsatz des Kleinen Gauß . |
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26.07.2018, 14:41 | ssuaG | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke HAL9000 |
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