Parallelenaxiom, Beweisbarkeit

27.07.2018, 18:32	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelenaxiom, Beweisbarkeit https://www.youtube.com/watch?v=EmLzMYr6uHU Das verstehe ich nicht so recht bzw.da fehlt mir die Anschauung. Kann jmd. erklären, wie das gemeint ist, dass wenn die Ersetzung des Parallelenpostulats durch eine Negation keine Widersprüche erzeugt, damit bewiesen wäre, dass das Parallelenpostulat nicht bewiesen werden kann?
27.07.2018, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Prof. sagt "... denn wenn man es beweisen könnte, dann könnte man es ja nicht einfach durch eine ihm widersprechende Aussage ersetzen." Anschauung ist nicht nötig, zuhören genügt.
28.07.2018, 03:06	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mein Versuch, mir die Sache zu erklären: Wenn gilt: Axiome 1-4 \|- Parallelenpostulat, dann gilt auch Axiome 1-4 \|= Parallelenpostulat, dann gilt: (Axiome 1-4 -> Parallelenpostulat) ist eine Tautologie. Da ~Parallelenpostulat keinen semantischen Widerspruch zu den Axiomen 1-4 erzeugt, wäre also (Axiome 1-4 -> ~Parallelenpostulat) jedenfalls keine Kontradiktion, womit (Axiome 1-4 -> Parallelenpostulat) keine Tautologie wäre und damit nicht semantisch folgt und damit auch nicht syntaktisch (in einem vollständigen System, was ja wohl Euklid's sein soll).
28.07.2018, 09:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum machst du dir das Denken so unnötig schwer? In der Mathematik kann man doch sehr viel leichter argumentieren und beweisen, ohne dass man jedesmal die Logik des Beweises untersucht. In diesem Fall (euklidische Geometrie) ist doch klar, dass das Parallelenaxiom nicht aus den anderen Axiomen folgen kann, weil es nichteuklidische Geometrien gibt, in denen die anderen Axiome gelten und das Parallelenaxiom nicht. Wenn du die harte Tour brauchst, dann gehe sie bitte konsequent und führe einen logischen Beweis. Deine Mixtur aus logischen Begriffen und Verbalakrobatik ist unverdaulich und regt nicht wirklich zum Mitdenken an. Wer sich darauf einliesse müsste die ganze unnötige Arbeit leisten, die du dir erspart hast. Mein Versuch mit schlichter Aussagenlogik: $\begin{eqnarray} A\wedge \lnot B \Rightarrow \lnot\lnot(A\wedge\lnot B)\Rightarrow \lnot(A\rightarrow B) \end{eqnarray}$ , und die Erklärung des Prof. ist die Umkehrung davon, nämlich $\begin{eqnarray} (A\rightarrow B)\Rightarrow \lnot (A\wedge\lnot B) \end{eqnarray}$ , was einfach eine andere Darstellung der Subjunktion ist.
29.07.2018, 23:07	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine aussagenlogische Beweisführung zeigt es sehr schön und einfach. Danke. Trotzdem nochmal meine Variante als Übung: A = Axiome 1. - 4. P = Parallelenpostulat 1. Annahme: A \|= P 2. A -> P = Tautologie (folgt aus 1. iVm dem Deduktionstheorem) 3. A & ~P = Kontradiktion (folgt aus 2., wenn A -> P eine Tautologie ist, dann muss die Negation A & ~P komplett falsch sein) 4. A & ~P = keine Kontradiktion (Erkenntnis der Geometrie des 19. Jh., es gibt auch konsistente nichtwuklid. Geometrien) 5. A -> P = keine Tautologie (folgt aus 4.) 6. A ~\|= P (aus 5. iVm Deduktionstheorem) 7. wg. Widerspruch in 1. & 6. ist Annahme falsch, also A ~\|= P, d.h. es gilt nicht: Wenn A wahr ist, dann ist P wahr. Ende. Inwiefern wäre mein Beweisweg genauso legitim wie Elvis', wenn auch zugegeben (unnötig) komplizierter?
30.07.2018, 12:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Beweis hat die folgende Grundstruktur: $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Annahme $\begin{eqnarray} \lnot X \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} X\wedge \lnot X \end{eqnarray}$ . Widerspruch. Also $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Das dreht sich sinn- und folgenlos im Kreis. Zusätzliche Logeleien wie syntaktische und semantische Ableitung und das Deduktionstheorem machen den Beweis in der Tat nur unnötig komplizierter.
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