Lineare DGL2

29.07.2018, 11:42

AWP1

Lineare DGL2

Hey Leute noch mal weiter mit der nächsten Aufgabe ,damit bisschen Übung rein kommt .

Ansatz: u= y/x

$\begin{eqnarray*} y' = u + e^{u} \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz so richtig ?
Weiss irgendwie nicht wie ich weiter vorgehen soll?

29.07.2018, 13:05

grosserloewe

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RE: Lineare DGL2
Wink

Hallo,

u=y/x

y= u *x

y' = u' *x +u

--->Einsetzen in die DGL:

u ' x = e^u

->Trennung der Variablen

dann: Resubstitution und Einsetzen der AWB in die Lösung.

29.07.2018, 14:16

AWP1

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$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} *x = e^{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{e^{u}} = \frac{1}{x}*dx \end{eqnarray*}$

Beide Seiten integrieren:

$\begin{eqnarray*} -e^{-u} = ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter ?

29.07.2018, 14:22

grosserloewe

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Du must schreiben: ln|x|

Du resubstituierst u= y/x und stellst die Gleichung nach y um.

ich habe erhalten;

y= - x ln ( -ln|x| -C)

Dann noch die AWB einsetzen.

29.07.2018, 14:40

AWP1

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$\begin{eqnarray*} -e^{-y/x} = ln(y/x)+C \end{eqnarray*}$

Was soll ich hier nach rücksubstitution machen?

29.07.2018, 14:46

klarsoweit

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Wie kommst du auf ln(y/x) ? Nur das u wird rücksubstituiert, sonst nichts. Lehrer

29.07.2018, 15:07

AWP1

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$\begin{eqnarray*} -e^{-y/x} = ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Stimmt hast Recht.

Aber weiss immer noch nicht wie ich weiter vorgehen soll?

29.07.2018, 16:18

grosserloewe

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$\begin{eqnarray*} - e^{\frac{-x}{y} } =ln|x|+C \end{eqnarray*}$ |*(-1)

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x}{y} } = - ln|x|-C \end{eqnarray*}$ | *e^(y/x)

$\begin{eqnarray*} 1 = e^{\frac{y}{x} } ( -ln|x|-C) \end{eqnarray*}$ |: (-ln|x| -C)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-ln|x| -C} = e^{\frac{y}{x} } \end{eqnarray*}$

usw.

29.07.2018, 16:29

AWP1

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Soll ich jetzt ln auf beiden Seiten ziehen ?

Um e Funktion zu beseitigen ?

29.07.2018, 16:49

grosserloewe

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Log. beide Seiten:

$\begin{eqnarray*} ln ( \frac{1}{-ln|x|-C} ) =y/x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln (1) - ln ( -ln|x| -C) =y/x \end{eqnarray*}$

ln(1)=0

$\begin{eqnarray*} - ln ( -ln|x| -C) =y/x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x * ln ( -ln|x| -C) =y \end{eqnarray*}$

29.07.2018, 16:52

AWP1

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Ich verstehe nicht wie du auf den 2 Rechenschritt kommst ?

Kannst du mir bitte erklären .

Kompliziert Big Laugh

29.07.2018, 17:04

grosserloewe

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Allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} ln (\frac{a}{b} )=ln(a) - ln(b) \end{eqnarray*}$

29.07.2018, 17:24

AWP1

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y= - x ln ( -ln|x| -C)

y(e) = -x*ln(-1-C )

hmm

im ln steht -1-C ?

ln(-1) = 0

Aber wie mache ich das jetzt?

Alles so tricky

29.07.2018, 17:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von AWP1
y(e) = -x*ln(-1-C )

Du mußt natürlich in x jedes das e einsetzen.

Zitat:

Original von AWP1
im ln steht -1-C ?

ln(-1) = 0

Ja, aber in der nächsten Zeile setzt du einfach C=0, was dann prompt zu einer ungültigen Gleichung führt. unglücklich

Zitat:

Original von AWP1
Alles so tricky

Das hat mit Tricks nichts zu tun, sondern mit einfachem Nachdenken. Es soll ja gelten:

0 = y(e) = -e * ln(-1-C )

Das führt direkt zu ln(-1-C ) = 0 . Jetzt überlege mal, was im Argument des ln stehen muß, damit da Null rauskommt, und wie du dafür die Konstante C wählen mußt.

29.07.2018, 18:07

AWP1

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Ich muss C = 0 wählen ?

Dann wird das ln(-1) = 0

Richtig ?

Und 0*e = 0

Fertig dann?

29.07.2018, 19:04

grosserloewe

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Du setzt Folgendes ein:

x= e und y=0

----->

$\begin{eqnarray*} 0= -e *ln(-1-C) \end{eqnarray*}$ | : (-e)

0= ln (-1-C) | e hoch

1= -1 -C

C= -2

->Lösung:

y=-x ln (- ln|x| +2)

29.07.2018, 19:15

AWP1

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Danke hab es verstanden .
Das mit e teilen war so ne Sache Big Laugh

Schwer darauf zu kommen

30.07.2018, 08:51

klarsoweit

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Schön, daß dir grosserloewe das Lösen einer simplen Gleichung bis ins Letzte vorgekaut hat. Und wenn das schwer war, frage ich mich, was du machen willst, wenn die richtig schweren Brocken kommen. verwirrt

Nebenbei frage ich mich, ob du auch liest, was ich gepostet habe:

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, aber in der nächsten Zeile setzt du einfach C=0, was dann prompt zu einer ungültigen Gleichung führt. unglücklich

Sowohl dieser Satz als auch der ungültige Ausdruck ln(-1) sollte dir genügend Hinweise liefern, daß C=0 nicht stimmen kann.

Zitat:

Original von klarsoweit
Das führt direkt zu ln(-1-C ) = 0 . Jetzt überlege mal, was im Argument des ln stehen muß, damit da Null rauskommt, und wie du dafür die Konstante C wählen mußt.

Auch hier ist nichts erkennbar, was man "eigenständige Mitarbeit" nennen könnte. unglücklich

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