Verschiebungen sind meßbar bzgl. des äußeren Lebesgue Maßes. Beweis?

29.07.2018, 14:45	Eco27	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschiebungen sind meßbar bzgl. des äußeren Lebesgue Maßes. Beweis? Meine Frage: Hallo zusammen. Ich gehe zur Klausurvorbereitung die Übungsblätter durch und habe im Allgemeinen Verständnisprobleme was das äußere Lebesgue Maß angeht (Wofür ist diese überhaupt gut? Welche relevanten Mengen werden mit dieser Erweiterung meßbar "gemacht"?) Eine Aufgabe, die uns dazu gestellt wurde (siehe unten) beinhaltet zu zeigen, dass eine Verschiebung einer Teilmenge von R^d um einen Vektor a $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)/\mathcal{B}(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ - und $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{m^}/\mathcal{A}_{m^} \end{eqnarray}$ -meßbar ist. Ersteres ist leicht zu zeigen: $\begin{eqnarray} B \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^d) \Rightarrow B=(x,y) \ \ x,y \in \mathbb{R}^d \\<br /> T^{-1}(B)=(x-a,y-a) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^d) \\<br /> \text{Da} \ \ \sigma(T^{-1}(\mathcal{O}(\mathbb{R}^d)))= T^{-1}(\sigma(\mathcal{O}(\mathbb{R}^d))) \\ \Rightarrow T^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)) \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ ich zeige also dass ein Erzeuger der borel sigma algebra von einem Erzeuger der borel sigma algebra "getroffen" wird. Wie würde ich dies jedoch für $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{m^} \end{eqnarray}$ zeigen? Dabei ist m^ das äußere Lebesguemaß und $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{m^} \end{eqnarray}$ die sigma Algebra, der m^ messbaren Mengen. Mir fällt jetzt nicht ein was ein Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_{m^} \end{eqnarray}$ sein könnte. Auf einen anderen Ansatz komme ich nicht. Jmd ne Idee? Danke im Voraus! Meine Ideen:* ...

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