Probleme bei Ungleichung

30.07.2018, 12:34

Beginner2000

Probleme bei Ungleichung

Hallo,

ich würde gerne folgende Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lösen

$\begin{eqnarray*} \left| -\frac{3x^2+xa-1}{x^2+xa+1}\right|<1 \end{eqnarray*}$

mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} x>0, \quad -1\leq a \leq 1 \end{eqnarray*}$

Umstellen und quadrieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \left(3x^2+xa-1\right)^2 < \left(x^2+xa+1\right)^2 \end{eqnarray*}$

Klammern auflösen und umstellen gibt

$\begin{eqnarray*} 0<a(4x-4x^3) -8x^4+8x^2 \end{eqnarray*}$

Wie soll man weiter vorgehen?

30.07.2018, 12:47

HAL 9000

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Es ist nicht sonderlich geschickt, gleich alles auszumultiplizieren. Von der vorletzten Ungleichung ausgehend würde ich zunächst die dritte binomische Formel $\begin{eqnarray*} u^2-v^2=(u-v)(u+v) \end{eqnarray*}$ hinzuziehen:

$\begin{eqnarray*} 0 < (x^2+xa+1)^2-(3x^2+xa-1)^2 = ((x^2+xa+1)-(3x^2+xa-1))((x^2+xa+1)+(3x^2+xa-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < (-2x^2+2)(4x^2+2xa) \end{eqnarray*}$

Das kann man dann noch weiter faktorisieren.

01.08.2018, 14:57

willyengland

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Ich habe da eine Frage zum ersten Schritt, dem Quadrieren:
Warum muss man das machen?
Ist das zwingend?
Weil man sonst den großen Betragsstrich nicht weg bekommt?

01.08.2018, 15:03

HAL 9000

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Zwingend ist es nicht, aber eine vergleichsweise elegante Alternative zur sonst nötigen Fallunterscheidung bei der Betragsauflösung. Augenzwinkern

01.08.2018, 15:48

willyengland

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Es ist ja so, dass beim großen Betrag nur der Gesamtwert > 0 sein muss.
Es kann wohl Zähler ODER Nenner alleine < Null sein.
Irgendwie überblicke ich nicht, warum man da einfach quadrieren darf.

01.08.2018, 16:16

Steffen Bühler

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Geht es um die Umformung $\begin{eqnarray*} \left| -\frac{3x^2+xa-1}{x^2+xa+1}\right|=\left| \frac{3x^2+xa-1}{x^2+xa+1}\right|=\frac {| 3x^2+xa-1|}{|x^2+xa+1|} \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

01.08.2018, 17:08

HAL 9000

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@willyengland

Für nichtnegative reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} u<v \;\Longleftrightarrow\; u^2<v^2 \end{eqnarray*}$ .

Genau das wird hier genutzt, und zwar für $\begin{eqnarray*} u=\left| -\frac{3x^2+xa-1}{x^2+xa+1}\right| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ . Welches Vorzeichen der Term innerhalb des Betrages hat, interessiert dabei nicht die Bohne, wir nutzen hier ja nur, dass der Betrag davon nichtnegativ ist - und das ist er ja von Haus aus. Also wo siehst du hier ein Problem? verwirrt

01.08.2018, 20:30

willyengland

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Alles klar jetzt.
Ich musste noch mal länger drüber nachdenken.
Hatte irgendwie den Verdacht, dass es einen Unterschied macht, wie man den Betrag bildet, ist aber nicht so.

02.08.2018, 11:34

Beginner2000

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Entschuldigung, dass ich mich erst jetzt zurück melde, aber ich hatte Probleme mit dem Internet.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 < (x^2+xa+1)^2-(3x^2+xa-1)^2 = ((x^2+xa+1)-(3x^2+xa-1))((x^2+xa+1)+(3x^2+xa-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < (-2x^2+2)(4x^2+2xa) \end{eqnarray*}$

Die Schritte konnte ich nachvollziehen. Faktorisieren gibt

$\begin{eqnarray*} 0<-4x (x-1)(x+1)(a+2x) \end{eqnarray*}$

Der Term in der Mitte ist für alle x positiv, da $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Damit der Term größer null, muss also entweder der linke oder der rechte Term null werden. Linker Term liefert die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

und der rechte

$\begin{eqnarray*} x<-\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$

Da beide Terme nicht gleichzeitig negativ sein dürfen, erhält man die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{x\in\mathbb R| -\frac{a}{2}<x<1\} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Ist die Lösungsmenge vollständig?

02.08.2018, 15:50

HAL 9000

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Nicht ganz, denn du forderst ja auch $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Du solltest daher

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \left\{ x\in\mathbb R \mid \max\left(-\frac{a}{2},0\right) < x < 1 \right\} = \left( \max\left(-\frac{a}{2},0\right) , 1\right) \end{eqnarray*}$

schreiben.

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