Funktion mit rationalem Exponent Definitionsbereich

03.08.2018, 12:36	jugin2509	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit rationalem Exponent Definitionsbereich Sorry für so viele Fragen letzte Zeit. Wenn man niemanden zum Fragen hat, dann ist das manchmal alles schwerer zu verstehen... Nehmen wir als Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray} x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ und die Aussage : "Ist der Exponent $\begin{eqnarray} \frac{m}{n} \end{eqnarray}$ keine ganze Zahl, so sind die Gleichungen in $\begin{eqnarray} R^{-} \end{eqnarray}$ nicht definiert." Meine Gleichung: $\begin{eqnarray} x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ = 4 Wieso ist die Lösung dieser Gleichung $\begin{eqnarray} x= \pm 8 \end{eqnarray}$ aber die Funktion ist für den negativen Bereich trotzdem nicht definiert? Ich meine wenn $\begin{eqnarray} (-8)^{\frac{2}{3}} = 4 \end{eqnarray}$ ist, dann kann ich das doch einzeichnen auf dem Graphen. Außerdem zeigt irgendwie jeder Taschenrechner einen anderen Graphen an.Die Online-Rechner zeigen den Graphen mit Definitionslücke und mein TI-84 Plus zeichnet den Graphen mit dem negativem Bereich.
03.08.2018, 12:45	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mit rationalem Exponent Definitionsbereich Die Frage läuft eigentlich darauf hinaus, ob $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ für negative x definiert ist oder nicht. Da gibt es unterschiedliche Ansichten. Um Schwierigkeiten mit den Potenzgesetzen aus dem Weg zu gehen, halte ich es mit der (aus meiner Schulzeit stammenden) Sicht, daß der Ausdruck für negative x nicht definiert ist. Wie das bei euch geregelt wurde, mußt du beantworten.
03.08.2018, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss da sehr vorsichtig sein. Es ist $\begin{eqnarray} ((-8)^2)^{\frac 1 3}=64^{\frac 1 3}=4 \end{eqnarray}$ zu unterscheiden von $\begin{eqnarray} ((-8)^{\frac 1 3})^2 \end{eqnarray}$ , was in reellen Zahlen nicht definiert ist. Man darf also nicht einfach $\begin{eqnarray} (-8)^{\frac 2 3} \end{eqnarray}$ schreiben. Erst wenn man das Rechnen in komplexen Zahlen kennt, bekommt dieser Ausdruck einen unverwechselbaren aber mehrdeutigen Sinn.
03.08.2018, 16:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In der "erweiterten" Wurzelauffassung für negative Radikanden kommt auch beim zweiten Ausdruck $\begin{eqnarray} \left((-8)^{\frac{1}{3}}\right)^2 = (-2)^2 = 4 \end{eqnarray}$ raus. Aber es ist richtig, es lassen sich ohne weiteres Beispiele finden, wo die Potenzgesetze für diese erweiterte Wurzelauffassung nicht gelten: $\begin{eqnarray} (-32)^{\frac{3}{5}} = \left((-32)^3\right)^{\frac{1}{5}} = \left(-2^{15}\right)^{\frac{1}{5}} = -2^3 = -8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-32)^{\frac{3}{5}} = \left((-32)^{\frac{1}{5}}\right)^3 = \left(-2\right)^3 = -8 \end{eqnarray}$ . Scheint ja prima gutzugehen - aber: $\begin{eqnarray} (-32)^{\frac{3}{5}} = (-32)^{\frac{6}{10}} \stackrel{?}{=} \left((-32)^6\right)^{\frac{1}{10}} = \left(2^{30}\right)^{\frac{1}{10}} = 2^3 = 8 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} (a^b)^c = a^{bc} \end{eqnarray}$ gilt im Fall $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ und gewissen rationalen $\begin{eqnarray} b,c \end{eqnarray}$ nur unter besonderen Bedingungen, die es erstmal zu formulieren gilt... Da ist es i.a. doch günstiger, man verzichtet auf diese negativen Basen, in den allermeisten Fällen ist eine Ersatzkonstruktion wie etwa $\begin{eqnarray} f^{-1}(x) = \operatorname{sgn}(x)\cdot \sqrt[n]{\|x\|} \end{eqnarray}$ als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=x^n \end{eqnarray}$ für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die weniger Kopfschmerzen bereitende Variante.
03.08.2018, 18:25	jugin2509	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch. Ist jetzt um einiges klarer geworden. Werde mir jetzt vornehmen Ausdrücke mit negativen Wurzeln ein wenig mit Vorsicht zu bearbeiten solange ich keine komplexen Zahlen hatte.

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